Imaginemos que tenemos una tarta y queremos partirlo en trozos muy pequeños. Para ello, la partimos por la mitad (2 trozos) y cada uno de estos trozos, otra vez por la mitad (4 trozos), los cuales volvemos a dividir (8 trozos), y así sucesivamente (16 trozos, 32 trozos...)
Los trozos que vamos obteniendo los vamos multiplicando por 2 al dividirlos. Por lo tanto, para saber cuántos trozo tengo al final tendré que multiplicar $2 \cdot 2 \cdot 2 ...$ tantas veces como divisiones haya hecho. Es decir, si he partido la tarta tres veces, tendré $2 \cdot 2 \cdot 2$, que es igual a 8.
Pero si hablamos de divisiones más grandes, como 20, por ejemplo, es muy aburrido y largo poner $... \cdot 2$ veinte veces, por eso resumimos esto así: $2^{20}$, lo que significa que el dos se multiplica por sí mismo veinte veces.
Entonces, para saber el número de trozos que tenemos tras $n$ divisiones, podemos ponerlo como $2^n$.
Igualmente podemos hacer con todos los demás números:
$$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 125$$
$$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81$$
Recordamos que esto sólo se puede poner cuando un número se multiplica por sí mismo. Es decir:
$5 \cdot 5 \cdot 3 \neq 5^3$. Esto está mal
Pero esto está bien: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 125$
O incluso podemos poner: $5 \cdot 5 \cdot 3 = (5 \cdot 5) \cdot 3 = 5^2 \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75$.
¿Y cuál es la operación contraria? Es decir, si a mí me dan el número 4, ¿cuál es el número que, multiplicado por sí mismo, dos veces, por ejemplo, da cuatro? Llamemos a ese número $x$:
$$x \cdot x = x^2 = 4$$
Sabemos que es 2, porque $2 \cdot 2 = 2^2 = 4$, pero hay veces que no es tan sencillo,como si nos piden saber el del número $144$. En cualquier caso, siguiendo con el ejemplo anterior, se dice que 2 es la raíz (cuadrada) de cuatro, porque $2 \cdot 2$ (2 multiplicado por sí mismo) es igual a cuatro.
¿Cómo se expresa eso? Así:
$$2 = \sqrt{4}$$
Esto es un radical (el nombre de raíz se suele usar como sinónimo de radical, como puedes ver aquí. En realidad se diría que 2 es la raíz de 4 y que $\sqrt{4}$ es el radical, pero tampoco es muy importante):
$$\boxed{\sqrt[n]{x}}$$
A $n$ se le llama índice de la raíz. Si $n =2$, se dice que es una raíz cuadrada; si $n=3$, se dice que es cúbica. Por otra parte, a $x$ se le llama radicando.
Cuando estamos hablando de raíces cuadradas, podemos omitir (no poner) el índice. Es decir, que si tenemos $\sqrt[2]{3}$, podemos poner directamente $\sqrt{3}$. Se sobreentiende que hablamos de raíces cuadradas.
Es importante saber que hay otra forma de expresar las raíces.
$$\boxed{\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}}$$ Por ejemplo:
$\sqrt{25} = 25^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[37]{5} = 5^{\frac{1}{37}}$
$\sqrt[21342]{2} = 2^{\frac{1}{21342}}$
Recordemos que si un número negativo se multiplica por otro negativo, el resultado va a ser un número positivo (negativo por negativo es positivo). Por ejemplo $-1 \cdot (-2) = 2$ o en $-5 \cdot (-2) = 10$. Por lo tanto, no vamos a poder encontrar ninguna raíz cuadrada (con los números que trabajamos, llamados números reales) negativa. Es decir, no tiene sentido poner $\sqrt{-4}$, porque ¿qué número multiplicado por sí mismo va a salir negativo? Si el número que tenemos es positivo, la multiplicación por sí mismo (más por más) va a salir positivo. Si el número es negativo, como acabamos de ver, también su multiplicación por sí mismo va a salir positiva.
Esto se puede extender a cualquier multiplicación de un número por sí mismo un número par de veces. Por lo tanto, podemos decir que si en un radical el índice $n$ es par, como radicando sólo podemos tener números postivos. $\sqrt{3}, \sqrt[6]{4}, \sqrt[600]{2}$. Nunca uno negativo, como ocurre en $\sqrt{-3}, \sqrt[6]{-4}$ o con $\sqrt[600]{-2}$.
Si el índice, $n$, es un número impar, sí que podemos tener un radicando negativo, puesto que un número negativo multiplicado por sí mismo un número impar de veces, como tres, por ejemplo, nos va a seguir saliendo negativo (menos por menos por menos = más por menos = menos), como ocurre en $-3 \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$
Por lo tanto, sí que podemos tener $\sqrt[3]{-27}, \sqrt[5]{-32}$ o $\sqrt[7]{-144}$
Podemos entonces concluir, teniendo presente $\sqrt[n]{x}$, que:
a) Si $n$ es un número par (2, 4, 6, 8...), $x > 0$, es decir, $x$ debe ser un número positivo.
b) Si $n$ es un número impar (3, 5, 7, 9), $x$ puede ser positivo o negativo.
- OPERACIONES CON RAÍCES.
1. Suma y resta de raíces.
A no ser que tengan el mismo índice y radicando poco podemos hacer.
Por lo tanto, podemos hacer $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} = 2 \cdot \sqrt[3]{2}$, pero no $\sqrt[6]{34} + \sqrt[4]{768}$.
Lo mismo ocurre con la resta. Si yo tengo $3x - x$, sí que lo puedo hacer, y es $2x$, pero si tengo $3x - y$, no puedo hacer nada, tengo que dejarlo como está. Pongamos algunos ejemplos:
$5 \sqrt{5} - 2\sqrt{3} + \sqrt[3]{5} - 3 \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} + \sqrt[3]{5} - 2 \sqrt{3}$
$6 \sqrt[34]{2} + 4 \sqrt[34]{5} - \sqrt[2]{2} + 4 \sqrt[2]{2} = 6 \sqrt[34]{2} + 4 \sqrt[34]{5} + 3 \sqrt[2]{2}$
2. Multiplicación de raíces.
a) Mismo índice. La multiplicación es un poco más liosa. Pueden tener distinto radicando; es decir, una puede ser $\sqrt{3}$ y la otra $\sqrt{2}$, lo único que exige es que tengan el mismo índice.
Si tienen el mismo índice, éste se deja como está y se multiplican los radicandos. Es decir:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt {2} = \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{6}$
$\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{30} = \sqrt[4]{5 \cdot 30} = \sqrt[4]{150}$
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt[3]{30}$
$\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[3]{89}$, cuidado. Esta no se puede hacer, pues tienen distinto índice.
De esta forma, podemos poner:
$$\boxed{\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}}$$
b) Distinto índice. Si tienen diferente índice pero deseo operarlos, hay igualmente una forma de hacerlo:
Hay que usar el mínimo común múltiplo de los índices de las diferentes raíces. Por ejemplo:
$$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4}$$
El mínimo común múltiplo de 2 y de 3 es 6.
Como el índice de la primera raíz es 2, hay que multiplicar por sí mismo al radicando $\frac{6}{2} = 3$, 3 veces; es decir, elevarlo a tres. En el segundo caso, habrá que elevarlo a dos ($\frac{6}{3} = 2$).
Por lo tanto:
$$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{2^3 \cdot 3^2} = \sqrt[6]{8 \cdot 9} = \sqrt[6]{62}$$
Podemos entonces poner, generalizando:
$$\boxed{\sqrt[n_1]{x} \cdot \sqrt[n_2]{y} = \sqrt[m.c.m.(n_1, n_2)]{x^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_1}} \cdot y^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_2}}}} $$
Ejemplos:
$\sqrt[6]{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{3 \cdot 3^3} = \sqrt[6]{3^4} = \sqrt[6]{81}$
$\sqrt[2]{2} \cdot \sqrt[7]{5} = \sqrt[14]{2^7} \cdot \sqrt[14]{5^2} = \sqrt[14]{2^7 \cdot 25}$
$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[12]{4^3} \cdot \sqrt[12]{2^3} = \sqrt[12]{4^3 \cdot 2^3}$ $= \sqrt[12]{(2 \cdot 2)^3 \cdot 2^3} = \sqrt[12]{2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3} = \sqrt[12]{2^9}$
3. División de raíces.En este caso ocurre exactamente lo mismo que con las multiplicaciones.
a) División raíces con el mismo índice.
$$\boxed{\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}}$$ Ejemplos:
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$
$\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{6}} = \sqrt[3]{\frac{5}{6}}$
$\frac{\sqrt[45]{11}}{\sqrt[45]{22}} = \sqrt[45]{\frac{1}{2}}$
$\frac{\sqrt[34]{234}}{\sqrt[32]{3289}}$ no se puede hacer
Y también en sentido inverso:
$\sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
$\sqrt[7]{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{5}}$
$\sqrt[8]{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt[8]{8}}{\sqrt[8]{3}}$
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Partiendo de este último ejemplo, vemos que
$$\boxed{\sqrt[n]{\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt[n]{1}}{\sqrt[n]{x}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x}}}$$
Como se ve en estos ejemplos:
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$
$\sqrt[3598]{\frac{1}{68}} = \frac{1}{\sqrt[3598]{68}}$
b) División de raíces de distinto índice. Se efectúa igual que con las multiplicaciones: utilizando el mínimo común múltiplo de ambos índices.
$$\boxed{\frac{\sqrt[n_1]{x}}{\sqrt[n_2]{y}} = \sqrt[m.c.m.(n_1, n_2)]{\frac{x^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_1}}}{y^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_2}}}}} $$
Ejemplos:
$\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[2]{6}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{6^2}} = \sqrt[4]{\frac{3}{36}} = \sqrt[4]{\frac{1}{13}}$
$\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[2]{7}} = \frac{\sqrt[10]{2^2}}{\sqrt[10]{7^5}} = \sqrt[10]{\frac{4}{7^5}}$
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[6]{5}} = \frac{\sqrt[6]{3^3}}{\sqrt[6]{5}} = \sqrt[6]{\frac{27}{5}}$
4. Potencia de raíces
A no ser que tengan el mismo índice y radicando poco podemos hacer.
Si yo tengo dos raíces con el mismo índice y radicando (es decir, $n$ y $x$ igual), se pueden agrupar. Por ejemplo:
$$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} = 2 \cdot \sqrt[3]{2}$$
¿Por qué? Porque es lo mismo que cuando tenemos $x + x = 2x$. En este caso $\sqrt[3]{2}$ equivaldría a $x$ (o sea: $x =\sqrt[3]{2}$). Es decir, estamos sumando dos cosas iguales.
Si no son iguales, no puedo ponerlo así, como sucede cuando tenemos $x + y$: $\sqrt[3]{2} + \sqrt[5]{2}$, si aparece $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ o cuando tenemos $\sqrt[6]{34} + \sqrt[4]{768}$
Por lo tanto, podemos hacer $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} = 2 \cdot \sqrt[3]{2}$, pero no $\sqrt[6]{34} + \sqrt[4]{768}$.
Lo mismo ocurre con la resta. Si yo tengo $3x - x$, sí que lo puedo hacer, y es $2x$, pero si tengo $3x - y$, no puedo hacer nada, tengo que dejarlo como está. Pongamos algunos ejemplos:
$5 \sqrt{5} - 2\sqrt{3} + \sqrt[3]{5} - 3 \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} + \sqrt[3]{5} - 2 \sqrt{3}$
$6 \sqrt[34]{2} + 4 \sqrt[34]{5} - \sqrt[2]{2} + 4 \sqrt[2]{2} = 6 \sqrt[34]{2} + 4 \sqrt[34]{5} + 3 \sqrt[2]{2}$
2. Multiplicación de raíces.
a) Mismo índice. La multiplicación es un poco más liosa. Pueden tener distinto radicando; es decir, una puede ser $\sqrt{3}$ y la otra $\sqrt{2}$, lo único que exige es que tengan el mismo índice.
Si tienen el mismo índice, éste se deja como está y se multiplican los radicandos. Es decir:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt {2} = \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{6}$
$\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{30} = \sqrt[4]{5 \cdot 30} = \sqrt[4]{150}$
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt[3]{30}$
$\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[3]{89}$, cuidado. Esta no se puede hacer, pues tienen distinto índice.
De esta forma, podemos poner:
$$\boxed{\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}}$$
b) Distinto índice. Si tienen diferente índice pero deseo operarlos, hay igualmente una forma de hacerlo:
Hay que usar el mínimo común múltiplo de los índices de las diferentes raíces. Por ejemplo:
$$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4}$$
El mínimo común múltiplo de 2 y de 3 es 6.
Como el índice de la primera raíz es 2, hay que multiplicar por sí mismo al radicando $\frac{6}{2} = 3$, 3 veces; es decir, elevarlo a tres. En el segundo caso, habrá que elevarlo a dos ($\frac{6}{3} = 2$).
Por lo tanto:
$$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{2^3 \cdot 3^2} = \sqrt[6]{8 \cdot 9} = \sqrt[6]{62}$$
Podemos entonces poner, generalizando:
$$\boxed{\sqrt[n_1]{x} \cdot \sqrt[n_2]{y} = \sqrt[m.c.m.(n_1, n_2)]{x^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_1}} \cdot y^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_2}}}} $$
Ejemplos:
$\sqrt[6]{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{3 \cdot 3^3} = \sqrt[6]{3^4} = \sqrt[6]{81}$
$\sqrt[2]{2} \cdot \sqrt[7]{5} = \sqrt[14]{2^7} \cdot \sqrt[14]{5^2} = \sqrt[14]{2^7 \cdot 25}$
$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[12]{4^3} \cdot \sqrt[12]{2^3} = \sqrt[12]{4^3 \cdot 2^3}$ $= \sqrt[12]{(2 \cdot 2)^3 \cdot 2^3} = \sqrt[12]{2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3} = \sqrt[12]{2^9}$
3. División de raíces.En este caso ocurre exactamente lo mismo que con las multiplicaciones.
a) División raíces con el mismo índice.
$$\boxed{\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}}$$ Ejemplos:
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$
$\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{6}} = \sqrt[3]{\frac{5}{6}}$
$\frac{\sqrt[45]{11}}{\sqrt[45]{22}} = \sqrt[45]{\frac{1}{2}}$
$\frac{\sqrt[34]{234}}{\sqrt[32]{3289}}$ no se puede hacer
Y también en sentido inverso:
$\sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
$\sqrt[7]{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{5}}$
$\sqrt[8]{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt[8]{8}}{\sqrt[8]{3}}$
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Partiendo de este último ejemplo, vemos que
$$\boxed{\sqrt[n]{\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt[n]{1}}{\sqrt[n]{x}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x}}}$$
Como se ve en estos ejemplos:
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$
$\sqrt[3]{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$
$\sqrt[3598]{\frac{1}{68}} = \frac{1}{\sqrt[3598]{68}}$
b) División de raíces de distinto índice. Se efectúa igual que con las multiplicaciones: utilizando el mínimo común múltiplo de ambos índices.
$$\boxed{\frac{\sqrt[n_1]{x}}{\sqrt[n_2]{y}} = \sqrt[m.c.m.(n_1, n_2)]{\frac{x^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_1}}}{y^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_2}}}}} $$
Ejemplos:
$\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[2]{6}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{6^2}} = \sqrt[4]{\frac{3}{36}} = \sqrt[4]{\frac{1}{13}}$
$\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[2]{7}} = \frac{\sqrt[10]{2^2}}{\sqrt[10]{7^5}} = \sqrt[10]{\frac{4}{7^5}}$
$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[6]{5}} = \frac{\sqrt[6]{3^3}}{\sqrt[6]{5}} = \sqrt[6]{\frac{27}{5}}$
4. Potencia de raíces
¿Qué ocurre si un radical si se multiplica a sí mismo? Es decir, si tenemos esto:
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = {(2^{\frac{1}{3}})}^{2}$
Podemos decir, generalizando, que es:
$$\boxed{ \sqrt[n]{x^y} = {(\sqrt[n]{x})}^{y} = {(x^{\frac{1}{n}})}^{y} = x^{\frac{1}{n} \cdot y} = x^{\frac{y}{n}}}$$
Poniendo varios ejemplos:
${(\sqrt{5})}^{3} = 5^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{5^3}$
${(\sqrt[7]{9})}^{3} = 9^{\frac{3}{7}} = \sqrt[7]{9^3}$
$\sqrt[12]{2^9} = {(\sqrt[12]{2})}^{9} = 2^{\frac{9}{12}} = 2^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{2^3}$
${(\sqrt[2]{5})}^{8} = 5^{\frac{8}{2}} = 5^{4}$
Con este último ejemplo podemos deducir una cosa: si una raíz n-ésima (de índice $n$) está elevada a ese mismo valor (elevada a $n$), el valor final es el del radicando.
Es decir, si tengo ${(\sqrt[3]{2})}^{3} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2$, o si tenemos ${(\sqrt[344]{15})}^{344} = 15^{\frac{344}{344}} = 15^1 = 15$
Por lo tanto, podemos poner:
$$\boxed{{(\sqrt[n]{x})}^{n} = x^{\frac{n}{n}} = x^1 = x}$$
Conocer esta forma de expresar las raíces nos va a permitir la simplificación de las mismas. Por ejemplo:
$\sqrt[12]{9} = \sqrt[12]{3^2} = 3^{\frac{2}{12}} = 3^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{3}$
$\sqrt[2]{81} = \sqrt[2]{3^4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^2 = 9$
$\sqrt[6]{125} = \sqrt[6]{5^3} = 5^{\frac{3}{6}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$
$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2^{\frac{4}{4}} = 2^1 = 2$
5. Introducir o extraer factores de una raíz
- Sacar factores de la raíz
Al mismo tiempo, sabiendo cómo funcionan las potencias de las raíces podremos sacar o introducir números a un radical.
Recordemos una de las propiedades de la multiplicación, expuesta en el punto (2): $\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$
Partiendo de la fórmula general de los radicales, $\sqrt[n]{x^a}$, pueden darse dos casos:
a) El radicando de un radical está elevado a un número menor que el del índice. Es decir $a < n$. En este caso, el radical se queda como está. Como ejemplos, tenemos:
$\sqrt{2} = \sqrt[2]{2^1}$
$\sqrt[7]{4^3}$
$\sqrt[50030]{2^{50029}}$
b) El radicando de un radical está elevado al mismo número del índice. Es decir, $a = n$. Esto ya lo hemos estudiado antes, en las potencias. Es el caso de:
$\sqrt{4} = \sqrt[2]{2^2} = 2^{\frac{2}{2}} = 2^1 = 2$
$\sqrt[234]{3^{234}} = 3^{\frac{234}{234}} = 3$
Es decir: ${(\sqrt[n]{x})}^{n} = \sqrt[n]{x^n}=x^{\frac{n}{n}} = x$
También se va a poder simplificar en el caso de que haya, como radicando, varios números multiplicándose o dividiéndose:
$\sqrt{3^2 \cdot 5^4} = 3 \cdot 5^2$
$\sqrt[3]{4^3 \cdot 6^3} = \sqrt{{(2^2)}^{3} \cdot {(2 \cdot 3)}^{3}} = \sqrt{2^6 \cdot 2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{2^9 \cdot 3^3} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$
Aunque este último ejemplo se podría haber hecho mucho más simple así:
$\sqrt[3]{4^3 \cdot 6^3} = \sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt[4]{6^3} = 4 \cdot 6 = 24$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot \sqrt{3}} = 2^2 \cdot \sqrt{3} $
$\sqrt{100} = \sqrt{5^2 \cdot 2^2} = 5 \cdot 2$
c) El radicando de un radical está elevado a un número mayor que el del índice. Es decir $a > n$. Es el caso de $\sqrt{3^3}$ o de $\sqrt[3]{2^8}$. En este caso, vamos a poder sacar fuera algún factor.
c.1. Si el número al que está elevado es un múltiplo del índice, como ocurre con $\sqrt[2]{3^4}$, $\sqrt[2]{3^{56}}$ o con $\sqrt[5]{2^{50}}$.
Este caso es simple, porque para ello utilizamos las potencias. En los ejemplos expuestos:
$\sqrt[2]{3^4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^2 = 9$
$\sqrt[2]{3^{56}} = 3^{\frac{56}{2}} = 2^{28}$
$\sqrt[5]{2^{50}} = 2^{\frac{50}{5}} = 2^{10}$
c.2. Si el número al que está el evado es no es un múltiple del índice, como ocurre con $\sqrt[3]{2^4}, \sqrt[5]{3^8}, \sqrt{3^5}$ o con $\sqrt[7]{2^{12}}$. En este caso lo que hacemos es dividir el exponente por el índice. El valor del cociente de la división va a ser el número al que vamos a elevar al factor, ya fuera de la raíz, y el resto es el número al que elevamos al que se queda dentro de la raíz. Pongamos ejemplos:
$\sqrt[3]{2^4} \to \frac{4}{3}$, división en la que nos sale de cociente 1 y, de resto, también 1. Por lo tanto:
$\sqrt[3]{2^4} = 2^1 \cdot \sqrt[3]{2^1}$ (recordemos que el 1 del primer 2 es debido al cociente y, el segundo, al resto de la división)
$\sqrt[5]{3^8} \to \frac{8}{5}$, división en la que nos sale 1 de cociente y, de resto, 3. Por lo tanto:
$\sqrt[5]{3^8} = 3^1 \cdot \sqrt[5]{3^3}$
$\sqrt{3^5} \to \frac{5}{2}$, división en la que obtenemos 2 de cociente y, de resto, 1. Por lo tanto:
$\sqrt{3^5} = 3^2 \cdot \sqrt{3}$
$\sqrt[7]{2^{12}} \to \frac{12}{7}$, división en la que obtenemos 1 de cociente y, de resto, 5. Por lo tanto:
$\sqrt[7]{2^{12}} = 2^1 \cdot \sqrt[7]{2^5}$
Esto se va a seguir cumpliendo aunque haya diferentes números multiplicándose o dividiéndose dentro del radical. Por ejemplo:
$\sqrt[3]{2^4 \cdot 5} = 2 \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 5}$
$\sqrt[5]{3^8 \cdot 2^4} = 3 \cdot \sqrt[5]{3^3 \cdot 2^4}$
$\sqrt[7]{2^{12} \cdot 5^5} = 2 \cdot \sqrt[7]{2^5 \cdot 5^5}$
$\sqrt{3^5 \cdot 7^3} = 3^2 \cdot 7 \cdot \sqrt{3 \cdot 7} = 63 \cdot \sqrt{21}$
$\sqrt{4^3 \cdot 3^3} = \sqrt{{(2^2)}^{3} \cdot 3^3} = \sqrt{2^6 \cdot 3^3} = 2^3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} $
$\sqrt{500} = \sqrt{5^3 \cdot 2^2} = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 10 \cdot \sqrt{5}$
- Introducir factores en la raíz.
Es el proceso inverso de lo que acabamos de hacer. En este caso, para introducir un factor en la raíz, va a haber que elevarlo al índice $n$. Es decir:
$$ y \cdot \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y^n \cdot x}$$ Ejemplos:
$2 \cdot \sqrt[5]{3} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3}$
$2^3 \cdot \sqrt[7]{3} = \sqrt[7]{{(2^3)}^{7} \cdot 3} = \sqrt[7]{2^{21} \cdot 3}$
$5^2 \cdot \sqrt{75} = \sqrt{{(5^2)}^{2} \cdot (5^2 \cdot 3)} = \sqrt{5^4 \cdot 5^2 \cdot 3} = \sqrt{5^6 \cdot 3}$
6. Raíz de una raíz
Este es otro apartado fácil si lo resolvemos con potencias:
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m]{x^{\frac{1}{n}}} = {(x^{\frac{1}{n}})}^{\frac{1}{m}} = x^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = x^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$
Por lo tanto, podemos poner como fórmula general:
$$\boxed{\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}}$$
Veamos algunos ejemplos:
$\sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2}$
$\sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{2}$
$\sqrt[3]{\sqrt[5]{6}} = \sqrt[15]{6}$
$\sqrt{\sqrt[34]{93}} = \sqrt[68]{93}$
Sin embargo, esto se complica un poco si tenemos números por dentro. Recordamos que sólo se pueden introducir números en las raíces si están multiplicando y/o dividiendo. Si no encontramos, por ejemplo, $(a + b) \cdot \sqrt[n]{x} \neq \sqrt[n]{(a^n + b^n) \cdot x }$. En tal caso sería:
$$\boxed{(a+b) \cdot \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{{(a+b)}^{n} \cdot x}}$$
Y si $n$ es mayor que tres, habría que desarrollar más la expresión (mediante el Binomio de Newton), algo que escapa los objetivos de este curso. Por lo tanto, iremos a ejemplos más sencillos.
$$\boxed{\sqrt[m]{y \sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x \cdot y^n}}$$
Veamos muestras de esto:
$\sqrt{5 \sqrt{2}} = \sqrt[4]{2 \cdot 5^2} = \sqrt[4]{50}$
$\sqrt[3]{ 3 \sqrt[4]{2}} = \sqrt[12]{3^4 \cdot 2}$
$\sqrt{4 \sqrt{12}} = \sqrt[4]{4^2 \cdot (2^2 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2^2 \cdot 3} = \sqrt[4]{2^6 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt[4]{2^2 \cdot 3}$
7. Racionalizar. El objetivo es quitar la raíz del denominador.
a) Cuando tenemos una raíz cuadrada en el denominador. Es decir, que lo que tenemos es $\frac{x}{\sqrt{y}}$.Como lo que yo quiero es que la raíz se vaya del denominador, tengo que hacer un truco: multiplicar arriba y abajo por lo mismo
$$ y = y \cdot 1 = y \cdot \frac{x}{x} = \frac{y \cdot x}{x}$$
De esta forma, sigue siendo igual, se mantiene el equilibrio. Lo mismo ocurre con las raíces:
$$\frac{x}{\sqrt{y}} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{(\sqrt{y})^2} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{y}$$
Por lo tanto, podemos generalizar y poner:
$$\boxed{\frac{x}{\sqrt{y}} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{y}}$$
Veamos algunos ejemplos:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3 \cdot \sqrt{7}}{7}$
$\frac{28}{\sqrt{14}} = \frac{28 \cdot \sqrt{14}}{14} = 2 \cdot \sqrt{14}$
$\frac{a + 5}{\sqrt{2}} = \frac{(a+5) \cdot \sqrt{2}}{2}$
b) Cuando tenemos una raíz de orden $n$ en el denominador. Es el caso de $\frac{x}{\sqrt[n]{y}}$.
Como queremos que se vaya la raíz del denominador, tenemos que multiplicarla por sí misma tantas veces como sea necesario para que la $y$ se quede sola; es decir, para tengamos en el denominador ${(\sqrt[n]{y})}^{y} = y$
$$\boxed{\frac{x}{\sqrt[n]{y^a}} = \frac{x \cdot \sqrt[n]{y^{n-a}}}{y}}$$
Veamos algunos ejemplos de esto:
$\frac{5}{\sqrt[3]{2}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{(\sqrt[3]{2})^3} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{2}$
$\frac{6}{\sqrt[4]{7^3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[4]{7}}{\sqrt[4]{7^3} \cdot \sqrt[4]{7}} = \frac{6 \cdot \sqrt[4]{7}}{(\sqrt[4]{7^4})} = \frac{6 \cdot \sqrt[4]{7}}{7}$
$\frac{2}{\sqrt[3]{16}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2^4}} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2^2}}{2}$
$\frac{1}{2 \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$
$\frac{7}{\sqrt[3]{81}} = \frac{7}{3 \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{7 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{3 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}} = \frac{7 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{3 \cdot (\sqrt[3]{3})^3} = \frac{7 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{9}$
Como se ve en estos dos últimos ejemplos, el que haya algún número en el denominador multiplicando a la raíz, no afecta para nada al procedimiento.
c) Binomios. Son dos expresiones juntas, como en: $\frac{x}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$.
En este caso se multiplica por el conjugado, que es el propio binomio con la 2ª parte cambiada de signo: binomio de x + y = x –y; el de $\sqrt{2} + \sqrt[3]{4}$ es $\sqrt{2} - \sqrt[3]{4}$. Con esto conseguimos que cada raíz se quede elevada al cuadrado* y se vayan las raíces. Es decir:
$$\frac{x}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{x \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{x \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a^2 - b^2}$$
Poniendo la fórmula general de esto:
$$\boxed{\frac{x}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{x \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a^2-b^2}}$$
Veamos algunos ejemplos (y recuerda que los paréntesis son muy importantes):
$\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3 - 5} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{-2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{-1} = -1 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - \sqrt{3}$
$\frac{5}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})}{(\sqrt{8} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})} = \frac{2 \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})}{(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2 \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})}{8 - 5} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3}$
* Observa que hay que multiplicar por el conjugado y no por el mismo binomio. De esta forma, tenemos suma por diferencia, y no una expresión elevada al cuadrado. Tenemos $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 + ab - ab + b^2 = a^2 + b^2$, de forma que todas las raíces se van. Sin embargo, si multiplicásemos por el mismo binomio, nos quedaría una raíz: $(a+b) \cdot (a+b) = (a+b)^2 = a^2 +ab + b^2$, donde $a^2$ y $b^2$, al estar elevados al cuadrado, dejan de ser raíces y se convierten en números normales, pero $ab$ es una raíz, como $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$.
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = {(2^{\frac{1}{3}})}^{2}$
Podemos decir, generalizando, que es:
$$\boxed{ \sqrt[n]{x^y} = {(\sqrt[n]{x})}^{y} = {(x^{\frac{1}{n}})}^{y} = x^{\frac{1}{n} \cdot y} = x^{\frac{y}{n}}}$$
Poniendo varios ejemplos:
${(\sqrt{5})}^{3} = 5^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{5^3}$
${(\sqrt[7]{9})}^{3} = 9^{\frac{3}{7}} = \sqrt[7]{9^3}$
$\sqrt[12]{2^9} = {(\sqrt[12]{2})}^{9} = 2^{\frac{9}{12}} = 2^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{2^3}$
${(\sqrt[2]{5})}^{8} = 5^{\frac{8}{2}} = 5^{4}$
Con este último ejemplo podemos deducir una cosa: si una raíz n-ésima (de índice $n$) está elevada a ese mismo valor (elevada a $n$), el valor final es el del radicando.
Es decir, si tengo ${(\sqrt[3]{2})}^{3} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2$, o si tenemos ${(\sqrt[344]{15})}^{344} = 15^{\frac{344}{344}} = 15^1 = 15$
Por lo tanto, podemos poner:
$$\boxed{{(\sqrt[n]{x})}^{n} = x^{\frac{n}{n}} = x^1 = x}$$
Conocer esta forma de expresar las raíces nos va a permitir la simplificación de las mismas. Por ejemplo:
$\sqrt[12]{9} = \sqrt[12]{3^2} = 3^{\frac{2}{12}} = 3^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{3}$
$\sqrt[2]{81} = \sqrt[2]{3^4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^2 = 9$
$\sqrt[6]{125} = \sqrt[6]{5^3} = 5^{\frac{3}{6}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$
$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2^{\frac{4}{4}} = 2^1 = 2$
5. Introducir o extraer factores de una raíz
- Sacar factores de la raíz
Al mismo tiempo, sabiendo cómo funcionan las potencias de las raíces podremos sacar o introducir números a un radical.
Recordemos una de las propiedades de la multiplicación, expuesta en el punto (2): $\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$
Partiendo de la fórmula general de los radicales, $\sqrt[n]{x^a}$, pueden darse dos casos:
a) El radicando de un radical está elevado a un número menor que el del índice. Es decir $a < n$. En este caso, el radical se queda como está. Como ejemplos, tenemos:
$\sqrt{2} = \sqrt[2]{2^1}$
$\sqrt[7]{4^3}$
$\sqrt[50030]{2^{50029}}$
b) El radicando de un radical está elevado al mismo número del índice. Es decir, $a = n$. Esto ya lo hemos estudiado antes, en las potencias. Es el caso de:
$\sqrt{4} = \sqrt[2]{2^2} = 2^{\frac{2}{2}} = 2^1 = 2$
$\sqrt[234]{3^{234}} = 3^{\frac{234}{234}} = 3$
Es decir: ${(\sqrt[n]{x})}^{n} = \sqrt[n]{x^n}=x^{\frac{n}{n}} = x$
También se va a poder simplificar en el caso de que haya, como radicando, varios números multiplicándose o dividiéndose:
$\sqrt{3^2 \cdot 5^4} = 3 \cdot 5^2$
$\sqrt[3]{4^3 \cdot 6^3} = \sqrt{{(2^2)}^{3} \cdot {(2 \cdot 3)}^{3}} = \sqrt{2^6 \cdot 2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{2^9 \cdot 3^3} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$
Aunque este último ejemplo se podría haber hecho mucho más simple así:
$\sqrt[3]{4^3 \cdot 6^3} = \sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt[4]{6^3} = 4 \cdot 6 = 24$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot \sqrt{3}} = 2^2 \cdot \sqrt{3} $
$\sqrt{100} = \sqrt{5^2 \cdot 2^2} = 5 \cdot 2$
c) El radicando de un radical está elevado a un número mayor que el del índice. Es decir $a > n$. Es el caso de $\sqrt{3^3}$ o de $\sqrt[3]{2^8}$. En este caso, vamos a poder sacar fuera algún factor.
c.1. Si el número al que está elevado es un múltiplo del índice, como ocurre con $\sqrt[2]{3^4}$, $\sqrt[2]{3^{56}}$ o con $\sqrt[5]{2^{50}}$.
Este caso es simple, porque para ello utilizamos las potencias. En los ejemplos expuestos:
$\sqrt[2]{3^4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^2 = 9$
$\sqrt[2]{3^{56}} = 3^{\frac{56}{2}} = 2^{28}$
$\sqrt[5]{2^{50}} = 2^{\frac{50}{5}} = 2^{10}$
c.2. Si el número al que está el evado es no es un múltiple del índice, como ocurre con $\sqrt[3]{2^4}, \sqrt[5]{3^8}, \sqrt{3^5}$ o con $\sqrt[7]{2^{12}}$. En este caso lo que hacemos es dividir el exponente por el índice. El valor del cociente de la división va a ser el número al que vamos a elevar al factor, ya fuera de la raíz, y el resto es el número al que elevamos al que se queda dentro de la raíz. Pongamos ejemplos:
$\sqrt[3]{2^4} \to \frac{4}{3}$, división en la que nos sale de cociente 1 y, de resto, también 1. Por lo tanto:
$\sqrt[3]{2^4} = 2^1 \cdot \sqrt[3]{2^1}$ (recordemos que el 1 del primer 2 es debido al cociente y, el segundo, al resto de la división)
$\sqrt[5]{3^8} \to \frac{8}{5}$, división en la que nos sale 1 de cociente y, de resto, 3. Por lo tanto:
$\sqrt[5]{3^8} = 3^1 \cdot \sqrt[5]{3^3}$
$\sqrt{3^5} \to \frac{5}{2}$, división en la que obtenemos 2 de cociente y, de resto, 1. Por lo tanto:
$\sqrt{3^5} = 3^2 \cdot \sqrt{3}$
$\sqrt[7]{2^{12}} \to \frac{12}{7}$, división en la que obtenemos 1 de cociente y, de resto, 5. Por lo tanto:
$\sqrt[7]{2^{12}} = 2^1 \cdot \sqrt[7]{2^5}$
Esto se va a seguir cumpliendo aunque haya diferentes números multiplicándose o dividiéndose dentro del radical. Por ejemplo:
$\sqrt[3]{2^4 \cdot 5} = 2 \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 5}$
$\sqrt[5]{3^8 \cdot 2^4} = 3 \cdot \sqrt[5]{3^3 \cdot 2^4}$
$\sqrt[7]{2^{12} \cdot 5^5} = 2 \cdot \sqrt[7]{2^5 \cdot 5^5}$
$\sqrt{3^5 \cdot 7^3} = 3^2 \cdot 7 \cdot \sqrt{3 \cdot 7} = 63 \cdot \sqrt{21}$
$\sqrt{4^3 \cdot 3^3} = \sqrt{{(2^2)}^{3} \cdot 3^3} = \sqrt{2^6 \cdot 3^3} = 2^3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} $
$\sqrt{500} = \sqrt{5^3 \cdot 2^2} = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 10 \cdot \sqrt{5}$
- Introducir factores en la raíz.
Es el proceso inverso de lo que acabamos de hacer. En este caso, para introducir un factor en la raíz, va a haber que elevarlo al índice $n$. Es decir:
$$ y \cdot \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y^n \cdot x}$$ Ejemplos:
$2 \cdot \sqrt[5]{3} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3}$
$2^3 \cdot \sqrt[7]{3} = \sqrt[7]{{(2^3)}^{7} \cdot 3} = \sqrt[7]{2^{21} \cdot 3}$
$5^2 \cdot \sqrt{75} = \sqrt{{(5^2)}^{2} \cdot (5^2 \cdot 3)} = \sqrt{5^4 \cdot 5^2 \cdot 3} = \sqrt{5^6 \cdot 3}$
6. Raíz de una raíz
Este es otro apartado fácil si lo resolvemos con potencias:
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m]{x^{\frac{1}{n}}} = {(x^{\frac{1}{n}})}^{\frac{1}{m}} = x^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = x^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$
Por lo tanto, podemos poner como fórmula general:
$$\boxed{\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}}$$
Veamos algunos ejemplos:
$\sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2}$
$\sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{2}$
$\sqrt[3]{\sqrt[5]{6}} = \sqrt[15]{6}$
$\sqrt{\sqrt[34]{93}} = \sqrt[68]{93}$
Sin embargo, esto se complica un poco si tenemos números por dentro. Recordamos que sólo se pueden introducir números en las raíces si están multiplicando y/o dividiendo. Si no encontramos, por ejemplo, $(a + b) \cdot \sqrt[n]{x} \neq \sqrt[n]{(a^n + b^n) \cdot x }$. En tal caso sería:
$$\boxed{(a+b) \cdot \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{{(a+b)}^{n} \cdot x}}$$
Y si $n$ es mayor que tres, habría que desarrollar más la expresión (mediante el Binomio de Newton), algo que escapa los objetivos de este curso. Por lo tanto, iremos a ejemplos más sencillos.
$$\boxed{\sqrt[m]{y \sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x \cdot y^n}}$$
Veamos muestras de esto:
$\sqrt{5 \sqrt{2}} = \sqrt[4]{2 \cdot 5^2} = \sqrt[4]{50}$
$\sqrt[3]{ 3 \sqrt[4]{2}} = \sqrt[12]{3^4 \cdot 2}$
$\sqrt{4 \sqrt{12}} = \sqrt[4]{4^2 \cdot (2^2 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2^2 \cdot 3} = \sqrt[4]{2^6 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt[4]{2^2 \cdot 3}$
7. Racionalizar. El objetivo es quitar la raíz del denominador.
a) Cuando tenemos una raíz cuadrada en el denominador. Es decir, que lo que tenemos es $\frac{x}{\sqrt{y}}$.Como lo que yo quiero es que la raíz se vaya del denominador, tengo que hacer un truco: multiplicar arriba y abajo por lo mismo
$$ y = y \cdot 1 = y \cdot \frac{x}{x} = \frac{y \cdot x}{x}$$
De esta forma, sigue siendo igual, se mantiene el equilibrio. Lo mismo ocurre con las raíces:
$$\frac{x}{\sqrt{y}} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{(\sqrt{y})^2} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{y}$$
Por lo tanto, podemos generalizar y poner:
$$\boxed{\frac{x}{\sqrt{y}} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{y}}$$
Veamos algunos ejemplos:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3 \cdot \sqrt{7}}{7}$
$\frac{28}{\sqrt{14}} = \frac{28 \cdot \sqrt{14}}{14} = 2 \cdot \sqrt{14}$
$\frac{a + 5}{\sqrt{2}} = \frac{(a+5) \cdot \sqrt{2}}{2}$
b) Cuando tenemos una raíz de orden $n$ en el denominador. Es el caso de $\frac{x}{\sqrt[n]{y}}$.
Como queremos que se vaya la raíz del denominador, tenemos que multiplicarla por sí misma tantas veces como sea necesario para que la $y$ se quede sola; es decir, para tengamos en el denominador ${(\sqrt[n]{y})}^{y} = y$
$$\boxed{\frac{x}{\sqrt[n]{y^a}} = \frac{x \cdot \sqrt[n]{y^{n-a}}}{y}}$$
Veamos algunos ejemplos de esto:
$\frac{5}{\sqrt[3]{2}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{(\sqrt[3]{2})^3} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{2}$
$\frac{6}{\sqrt[4]{7^3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[4]{7}}{\sqrt[4]{7^3} \cdot \sqrt[4]{7}} = \frac{6 \cdot \sqrt[4]{7}}{(\sqrt[4]{7^4})} = \frac{6 \cdot \sqrt[4]{7}}{7}$
$\frac{2}{\sqrt[3]{16}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2^4}} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2^2}}{2}$
$\frac{1}{2 \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$
$\frac{7}{\sqrt[3]{81}} = \frac{7}{3 \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{7 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{3 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}} = \frac{7 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{3 \cdot (\sqrt[3]{3})^3} = \frac{7 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{9}$
Como se ve en estos dos últimos ejemplos, el que haya algún número en el denominador multiplicando a la raíz, no afecta para nada al procedimiento.
c) Binomios. Son dos expresiones juntas, como en: $\frac{x}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$.
En este caso se multiplica por el conjugado, que es el propio binomio con la 2ª parte cambiada de signo: binomio de x + y = x –y; el de $\sqrt{2} + \sqrt[3]{4}$ es $\sqrt{2} - \sqrt[3]{4}$. Con esto conseguimos que cada raíz se quede elevada al cuadrado* y se vayan las raíces. Es decir:
$$\frac{x}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{x \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{x \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a^2 - b^2}$$
Poniendo la fórmula general de esto:
$$\boxed{\frac{x}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{x \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a^2-b^2}}$$
Veamos algunos ejemplos (y recuerda que los paréntesis son muy importantes):
$\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3 - 5} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{-2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{-1} = -1 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - \sqrt{3}$
$\frac{5}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})}{(\sqrt{8} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})} = \frac{2 \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})}{(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2 \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})}{8 - 5} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3}$
* Observa que hay que multiplicar por el conjugado y no por el mismo binomio. De esta forma, tenemos suma por diferencia, y no una expresión elevada al cuadrado. Tenemos $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 + ab - ab + b^2 = a^2 + b^2$, de forma que todas las raíces se van. Sin embargo, si multiplicásemos por el mismo binomio, nos quedaría una raíz: $(a+b) \cdot (a+b) = (a+b)^2 = a^2 +ab + b^2$, donde $a^2$ y $b^2$, al estar elevados al cuadrado, dejan de ser raíces y se convierten en números normales, pero $ab$ es una raíz, como $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$.
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