Examen PAEG Física 2015 - Opción A

A continuación resolveremos una de las opciones del examen de Selectividad o PAEG de Castilla-La Mancha de junio del año 2015:

Primero, nos están diciendo que está sobre la superficie terrestre. Es decir, que a la altura que nos dan hay que sumarle la distancia al centro de la Tierra, el radio terrestre, R. Es decir:

$$r = R_{T} + h = 6370 \cdot 10^{3} + 22322 \cdot 10^{3} = 2,87 \cdot 10^{7} (m)$$

a) Tal y como hemos aprendido en post anteriores:

$$\vec{F_{g}} = \vec{F_{c}} \to F_{g} = F_{c} \to \frac{GMm}{r^{2}} = m \cdot \frac{v^{2}}{r} \to v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

En este caso, por lo tanto, tenemos:

$$v = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24}}{2,87 \cdot 10^{7}}}$$ $$\boxed{v = 3728 (m/s)}$$

Para obtener el período podemos recurrir a varios métodos pero lo más sencillo es $v = \omega \cdot r$. Por lo tanto:

$$v = \omega \cdot r \to v = \frac{2 \pi}{T} \cdot r \to T = \frac{2 \pi \cdot r}{v} \to r = \frac{2 \pi \cdot 2,87 \cdot 10^{7}}{3728}$$ $$\boxed{T = 48371 (s)}$$

b) Lo que nos piden es la energía mecánica que, como sabemos, es $E_m = E_c + E_p$. Pero, como se ha visto antes, en un cuerpo que orbita alrededor de otro la energía mecánica es la mitad de la potencial. Por lo tanto,
$$E_m = \frac{1}{2} E_p = \frac{1}{2} \cdot (\frac{-GMm}{r}) = \frac{-GMm}{2r} = \frac{-6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24}}{2 \cdot 2,87 \cdot 10^{7}}$$ $$\boxed{E_m = -6,94 \cdot 10^{6} (J)} $$
c) Calculamos la variación de la energía potencial:$$\Delta E_p = E_p (B) - E_p (A) = \frac{-GMm}{r_{B}} - (\frac{-GMm}{r_{A}}) = GMm \cdot (\frac{1}{r_{A}} - \frac{1}{r_{B}})$$
Pero tenemos que  $r_{A} = R_T; r_{B} = R_T + h = r $. Por ello: 
$$ \Delta E_p = GMm \cdot (\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r}) = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \cdot 1,5 \cdot 10^{3} \cdot (\frac{1}{6370 \cdot 10^{3}} - \frac{1}{2,87 \cdot 10^{7}})$$ $$\boxed{\Delta E_p = 7,31 \cdot 10^{10} (J)}$$

Para este ejercicio, un dibujo se hace muy necesario:

De esta forma, vemos que hay un equilibrio entre las distintas fuerzas (su suma neta es cero): $$\vec{T} + \vec{P} + \vec{F_g} = 0 $$

Separando ahora por ejes, tenemos:
- En el eje X:   $\vec{T_x} + \vec{F_e} = 0 \to T_x = F_e \to T \cdot sin(\theta) = F_e$
- En el eje Y:   $\vec{T_y} + \vec{P} = 0 \to T_y = P \to T \cdot cos(\theta) = P$

Dividamos ahora una expresión entre otra:
$$ \frac{T \cdot sin(\theta)}{T \cdot cos(\theta)} = \frac{F_e}{P} \to tg(\theta) = \frac{F_e}{P} \to F_e = P \cdot tg(\theta) \to K \cdot \frac{q^2}{r^2} = P \cdot tg (\theta)$$
Date cuenta que tenemos todos los datos menos $q$, y luego debemos imponer la condición de que $\theta = 30º$ para que se cumpla lo que nos pide el problema. Despejando de aquí:
$$q = \sqrt{\frac{P \cdot tg(\theta) \cdot r^2}{K}} \to q = r \cdot \sqrt{\frac{P \cdot tg(\theta)}{K}}$$
Como se ve también en el dibujo, $\frac{r}{2} = L \cdot sin(\theta) \to r = 2L \cdot sin(\theta)$

Por ello, $$q = 2L \cdot sin(\theta) \cdot \sqrt{\frac{m \cdot g \cdot tg(\theta)}{K}} \to q = 2 \cdot 0,75 \cdot sin(30º) \cdot \sqrt{\frac{5 \cdot 10^{-3} \cdot 9,8 \cdot tg(30º)}{9 \cdot 10^9}}$$
$$\boxed{q = 1,33 \cdot 10^{-6}} (C)$$
Según las fórmulas que hemos obtenido antes, podemos conocer el valor de la tensión de dos formas, utilizado la fuerza eléctrica o el peso. Sin embargo, es mejor calcular el peso, pues así utilizamos datos que nos da el propio problema y, si antes nos hemos equivocado, no arrastramos ahora el error. Así:
$$T \cdot cos(\theta) = P \to T = \frac{m \cdot g}{cos(\theta)} \to T = \frac{5 \cdot 10^{-3} \cdot 9,8}{cos(30º)}$$
$$\boxed{T = 0,056 (N)}$$
Ahora calculamos la fuerza eléctrica:
$$F_e =  K \cdot \frac{q^2}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{{(1,33 \cdot 10^{-6})}^{2}}{{(2 \cdot 0,75 \cdot sin(30º))}^{2}}$$
$$\boxed{F_e = 0,028 (N)}$$

Utilizando la Ley de Lenz:

$$\epsilon = -N \cdot \frac{d \Phi}{dt} = - N \cdot \frac{d(B \cdot S \cdot cos(\alpha))}{dt}$$

Pero en este caso tanto el campo, $B$, como el área, $S$, permanecen constantes. Lo que varía es el ángulo $\alpha$, que es igual a omega por t: $\alpha= \omega \cdot t$. Por lo tanto, podemos sacarlo de la derivada, obteniendo así:

$$\epsilon = -N \cdot BS \cdot \frac{cos(\omega t)}{dt} 0 = - (-NBT \cdot \omega \cdot sen(\omega t))$$

Tenemos ahora que calcular el área, que en un círculo es $S = \pi r^2$ y, además, la fem máxima no es toda la fórmula anterior, sino que la máxima se consigue en el momento en el que el seno vale uno. Es decir, que la fem máxima es:

$$\epsilon_0 = NBS \omega \to \omega = \frac{\epsilon_0}{NBS} \to 2 \pi \nu= \frac{\epsilon_0}{NBS} \to \nu= \frac{\epsilon_0}{NBS \cdot 2 \pi}$$

Y en este caso,

$$\nu=\frac{12}{300 \cdot 0,5 \cdot (\pi \cdot {(2 \cdot 10^{-2})}^{2}) \cdot 2 \pi}$$

$$\boxed{\nu= 10,13 (Hz)}$$

Tenemos que la fórmula de la intensidad de un sonido, medido en $dB$, es: $$\beta = 10 \cdot log(\frac{I}{I_0})$$
En este caso, por lo tanto, va a ser obtener $I$ a partir de $\beta_1$ $$\beta_1 = 10 \cdot log(\frac{I_1}{I_0}) \to \frac{\beta_1}{10} = log(\frac{I_1}{I_0})$$
Tenemos que una de las propiedades de los logaritmos es: $a^{log_a(x)} = x$ y, aplicado a base 10, como en este caso: $10^{log(x)} = x$. Por lo tanto, $$10^{\frac{\beta_1}{10}} = \frac{I_1}{I_0} \to I_1 = I_0 \cdot 10^{\frac{\beta_1}{10}} \to I_1 = 10^{-12} \cdot 10^{\frac{49}{10}} = 10^{-12 + 4,9}$$ $$\boxed{I_1 = 7,9 \cdot 10^{-8} (W/m^2)}$$
En el otro caso, tenemos: $$I_2 = 10^{-12 + \frac{70}{10}} \to I_2 = 10^{-5} (W/m^2)$$
Pero lo que nos piden es la relación entre ambos. Por lo tanto, dividiremos uno entre otro: $$\frac{I_2}{I_1} = 126 \to \boxed{I_2 = 126 \cdot I_1}$$

Se trata de aplicar la fórmula del Modelo Fotoeléctrico de Albert Einstein: $$E_{foton} = W_0 + E_c (max) \to E_c (max) = E_{foton} - W_0 = h \nu - h \nu_0$$ $$\frac{1}{2}m_e {v_{max}}{^2} = h \cdot (\nu - \nu_0) \to v_{max} =  \sqrt{\frac{2h \cdot (\nu - \nu_0)}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,63 \cdot 10^{-34} \cdot (6 \cdot 10^14 - 4,5 \cdot 10^14)}{9,1 \cdot 10^{-31}}}$$
$$\boxed{v_{max} =  4,68 \cdot 10^{5} (m/s)}$$ 

Nos basamos en la ley de refracción de Snell, que dice $n_1 \cdot sen(\hat{i}) = n_2 \cdot sen(\hat{r})$. Si, como en este caso, proviene del aire, $n_1 = 1$, de donde tenemos: $$1 \cdot sen(\hat{i}) = n_2 \cdot sen(\hat{r}) \to n_2 = \frac{sen(\hat{i})}{sen(\hat{r})}$$
Hacemos ahora una tabla para ir apuntando los diferentes índices de refracción que obtenemos: 

De esta forma podemos obtener $n_2$:

$$n_2 = \frac{n_2(1) + n_2(2) + n_2 (3) + n_2(4)}{4} = \frac{1,65 + 1,62 + 1,65 + 1,58}{4}$$ $$\boxed{n_2 = 1,63}$$