PrionicProtein: Campo gravitatorio III

Vamos a ver qué ocurre ahora con los satélites en órbita:

1. Conservación de la energía mecánica

Teniendo en cuenta lo dicho en el primer punto del post anterior, tenemos que siempre que actúe únicamente la fuerza gravitatoria, la energía mecánica permanece constante:

2. Energía cinética

La energía cinética es la energía que posee un cuerpo por el hecho de estar moviéndose, y podemos expresarla como:

* Recordemos que, para trabajar en el Sistema Internacional, debemos poner la masa en kg y la velocidad en m/s, de forma que la unidad de la energía es el Julio (J).

Pero un satélite en la órbita no tiene una velocidad cualquiera, sino la velocidad orbital, calculada en el post anterior:

Por lo tanto, la energía cinética podemos escribirla como:

Por lo que podemos concluir:

(I)

*La energía cinética debe salirte siempre positiva

3. Energía potencial
Vamos a calcular la energía potencial en un punto A.

Se define como el trabajo que realiza el campo para trasladar un cuerpo de masa m desde un punto A hasta el infinito (por lo tanto, Ep(inicial) = Ep(A) y Ep(final) = Ep(∞)):
Veamos un dibujo para ponernos en situación:

Entonces, sabiendo que el vector unitario u_r y el de dr (sentido y dirección del desplazamiento desde A hasta infinito) tienen la misma dirección y sentido (son paralelos y forman 0º entre sí):

y que

tenemos:

Desarrollando más:

Como podemos observar:

Es decir, aquí podemos ver que:

algo explicado en este otro post.

Siguiendo con nuestra expresión anterior:

Sabemos que Ep(∞) = 0 porque

Por lo tanto:

donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa del cuerpo al que orbita (como un planeta), m es la masa del satélite o cuerpo que orbita y r es la distancia entre los planetas (suma de la distancia entre la superficie del cuerpo de masa M y la distancia entre los dos cuerpos. Esto se verá en ejercicios resueltos).

* La energía potencial debe salirte negativa. El máximo valor posible de la energía potencial es cero, y se alcanza en el infinito (donde nuestro cuerpo se zafa de toda fuerza gravitatoria. Está libre y, por lo tanto, no tiene energía potencial gravitatoria)

4. Energía mecánica (en la órbita)

Es la energía mecánica de un cuerpo de masa m en la órbita (de un planeta de masa M y a una distancia R) pues, como se va a ver a continuación, la velocidad que tomaremos va a ser la orbital.

- Cálculo de la energía mecánica total en la órbita. Teniendo en cuenta el punto 1, podemos escribir:

Ahora hacemos el mínimo común múltiplo:

De forma que llegamos a la expresión:

* La energía mecánica total puede salir negativa o positiva. En el último punto discutiremos el significado de cada uno.

- Igualmente, podríamos establecer una relación entre la energía potencial y la energía cinética:

De esta forma, podemos concluir que:

5. Cambio de órbita y traslado de satélites

Desarrollaremos este punto teniendo en cuenta la Ley de la Conservación de la Energía.

- Desde la superficie hasta una altura h

La subida de los satélites a órbita se desarrolla en dos fases: se le sube hasta una altura h y, posteriormente, se le da la velocidad necesaria mediante propulsores para que describa la órbita (velocidad orbital).

Tomemos el punto A como la superficie de la Tierra y B como el punto de una órbita al que queremos llevar el satélite. Tenemos entonces que la energía necesaria para que ascienda debe va a coincidir con el trabajo realizado para llevarlo a dicha altura. Veámoslo con más calma:

Como hemos dicho en antes, este proceso está dividido en dos partes: ascensión del satélite y otra fase independiente: darle la velocidad orbital. Por lo tanto, sólo nos estamos ocupando de la primera fase, la subida. Por ello, la energía cinética final es cero (sólo lo subimos): Ec(B) = 0. Por lo tanto:

Es decir, la energía (cinética) que nosotros tendríamos que darle para que ascienda hasta la órbita coincide con la variación de la energía (potencial) y, por lo tanto, con el trabajo realizado. Dicho de otro modo, la energía que debemos suministrarle debe ser igual al trabajo que hay que realizar para subirlo.
Gracias a esta expresión, podemos calcular la velocidad necesaria para subirlo hasta dicha altura:

Y así:

- Desde una órbita a otra

Siguiendo con el principio de la conservación de la energía, tenemos que la energía total en un punto cualquiera, A, de una órbita, debe ser igual al de un punto B de otra órbita. De igual forma que la anterior, obtenemos el trabajo realizado para pasarlo de una órbita a otra, que coincide con la energía cinética que hay que suministrarle para que sea posible ese cambio (W = Ec(A)):

Pero en este caso debemos tener en cuenta que la energía con la que estamos jugando es la energía de la órbita (la potencial gravitatoria + la energía cinética debido a la velocidad orbital), que podemos expresar como en el punto (5), de forma que:

Y desarrollando más aún:

6. Velocidad de escape

Es la velocidad mínima con la que debe lanzarse un cuerpo para que escape de la atracción gravitatoria de un planeta, estrella u otro cuerpo. Como es la velocidad mínima, le damos la velocidad justa para que se zafe de la fuerza de la gravedad pero que no tenga velocidad final (energía cinética final nula). El punto donde escapa de la atracción gravitatoria, como dijimos previamente, tiene lugar en el infinito (en el infinito la energía potencial es cero). Por lo tanto, hay que trasladar el cuerpo al infinito.

Desarrollando también por la conservación de la energía:

Por lo tanto:

Y desarrollando:

Como curiosidad: Podemos establecer una relación entre la velocidad de escape y la orbital:

La velocidad de escape nos sirve como indicador, junto con el signo de la energía mecánica, para saber si un cuerpo escapa de la atracción gravitatoria de otros. Veamos los casos que pueden darse:

1. Si v < v_e, entonces el cuerpo se encuentra atado por la fuerza gravitatoria, no puede escapar. La órbita que describe es una parábola (si v > v_orbital) o una circunferencia (si v = v_orbital). Igualmente, si es menor que la velocidad orbital, el cuerpo caerá sobre el planeta, estrella (trayectoria: elipse incompleta)… En este caso, se cumple que la energía mecánica es menor que cero.

2. Si v = v_e, el cuerpo tendrá la velocidad suficiente para escapar de la atracción gravitatoria (llegar al infinito), aunque una vez que llegue allí, no tendrá nada de velocidad. La energía mecánica es igual a cero.

3. Si v > v_e, el cuerpo tendrá suficiente energía para escapar de la atracción gravitatoria y llegar al infinito con una determinada velocidad. La energía mecánica es mayor que cero.

Esto aparece resumido en la siguiente tabla:

7. Caídas de cuerpos desde una altura r

Esto se resuelve muy fácilmente por la ley de la conservación de la energía. Si tenemos un cuerpo que cae hacia un planeta, estrella... a una altura r (r = R + h), donde R es el radio del cuerpo hacia el que cae, podemos fácilmente calcular la velocidad con la que se estrellará contra la superficie: