Campo Gravitatorio - Ejercicios

A continuación resolveremos varios ejercicios sobre el Campo Gravitatorio sacados de diferentes exámenes de selectividad.

Como la órbita que describe el satélite es circular, podemos afirmar que:

$$\vec{F_g} = \vec{F_c} \to F_c = F_g \to m \cdot \frac{v^2}{R} = \frac{GMm}{R^2}$$

a) Puesto que $v = \omega \cdot R = \frac{2 \pi}{T} \cdot R \to v^2 = \frac{4 {\pi}^2}{T^2} \cdot R^2$, tenemos, ya operando:

$$T = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{R^3}{GM}} = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{(2,38 \cdot 10^8)^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,688 \cdot 10^{26}}}$$

Entonces,

$$\boxed{T = 1,12 \cdot 10^5 (s)}$$

b) Por definición, la energía cinética es $E_c = \frac{1}{2}mv^2$. De la misma forma que calculamos la velocidad en el apartado anterior, podemos poner:

$$E_c = \frac{GMm}{2R} = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,688 \cdot 10^{26} \cdot 1,0803 \cdot 10^{20}}{2 \cdot 2,38 \cdot 10^8}$$

Que resulta:

$$\boxed{E_c = 8,61 \cdot 10^{27} (J)}$$

c) Igualmente por definición, la energía potencial gravitatoria es: $E_p = \frac{-GMm}{R}$. Por ello:

$$E_p =\frac{-6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,688 \cdot 10^{26}\cdot 1,0803 \cdot 10^{20}}{2,38 \cdot 10^8}$$

$$\boxed{E_p = -1,72 \cdot 10^{28} (J)}$$

Como podemos ver simplemente comparando las fórmulas de cada energía (algo ya analizado en este post), tenemos que

$$\boxed{|E_p| = 2 E_c}$$

Como las órbitas son circulares, tenemos que (mismo procedimiento que en el ejercicio anterior):

$$\vec{F_g} = \vec{F_c} \to F_c = F_g \to m \cdot \frac{v^2}{R} = \frac{GMm}{R^2} \to \frac{4 \pi^2}{T^2} \cdot R = \frac{GM}{R^2}$$

De esta forma, despejando, llegamos a:

$$\boxed{M_{planeta} = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}}$$

A este tipo de satélites que se encuentran siempre en el mismo punto sobre la Tierra se les denomina geoestacionarios, y para que esto ocurra ha de cumplirse que:

$$T_{traslación} (satélite) = T_{rotación} (Tierra)$$

Por lo tanto, el período del satélite ha de ser 24 h. Con las fórmulas anteriores, tenemos que el período es:

$$T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{GM}$$

Expresión de donde podemos sacar el radio de la órbita del satélite geoestacionario:

$$R = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 \pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \cdot {(24 \cdot 3600)}^{2}}{4 \pi^2}}$$

Al mismo tiempo, $v = \omega \cdot R =  \frac{2 \pi}{T} \cdot R$

Pudiendo concluir:

$$\boxed{v = 3072 (m/s)}$$ 

a) Siguiendo el mismo procedimiento que en los ejercicios anteriores, tenemos que

$$v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \to \boxed{v = 894 (m/s)}$$

b) Nos facilitará la resolución del problema el tener un esquema de la situación:

Lógicamente ese punto ha de estar más cerca del cuerpo con menos masa (el satélite).
Debe cumplirse que

$$\vec{Fg_{1  2}} + \vec{Fg_{2 1}} = 0 \to Fg_{1  2} = Fg_{2  1}$$

Por lo tanto, y sabiendo que $M$ es la masa del planeta y $m$ la del satélite, tenemos (es lo mismo que desarrollar las fórmulas de las fuerzas y tachar $m'$, presente en ambos miembros):

$$g_{1  2} = g_{2 1} \to \frac{GM}{d^2} = \frac{Gm}{{(R - d)}^2}$$

Ponemos todos los elementos elevados al cuadrado en el mimo miembro:
$$\frac{GM}{Gm} = \frac{d^2}{{(R-d)}^{2}} \to \frac{M}{m} = \frac{d^2}{{(R-d)}^{2}} \to \sqrt{\frac{M}{m}} = \frac{d}{R -d}$$
Y de aquí:

$$d =  \sqrt{\frac{M}{m}} \cdot (R - d) \to d = R \cdot \sqrt{\frac{M}{m}} – d \cdot \sqrt{\frac{M}{m}} \to d + d \cdot \sqrt{\frac{M}{m}}  = R \cdot \sqrt{\frac{M}{m}} $$

Ahora sacamos factor común a las $d$, y sabiendo que $M =16m$, llegamos a:

$$d \cdot (1 + \sqrt{\frac{M}{m}}) = R \cdot \sqrt{\frac{M}{m}} \to d = \frac{R \cdot \sqrt{\frac{M}{m}} }{1 + \sqrt{\frac{M}{m}} } = \frac{4R}{1+4} = \frac{4}{5} \cdot R$$

Por lo tanto, la distancia desde el centro del planeta hasta el punto donde la gravedad total es cero es:

$$\boxed{d = 2 \cdot 10^8 (m)}$$

c) La situación es la siguiente:

Por conservación de la energía, tenemos que

$$E_m(A) = E_m(B) \to E_p(A) + E_c(A) = E_p(B) + E_c(B)$$

Sin embargo, la velocidad del cuerpo en A era cero, por lo que su energía cinética en ese punto, también: $E_c(A) = 0$. De esta forma:

$$E_c(B) = E_p(A) – E_p(B) = GMm \cdot (\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}) \to \frac{1}{2}mv^2 = GMm \cdot (\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A})$$

Sabiendo que $r_B = R_{planeta}$ y que $r_A = d$, tenemos que

$$v= \sqrt{2GM \cdot (\frac{1}{R} – \frac{1}{d})} \to \boxed{v = 8,83 \cdot 10^3 (m/s)}$$

Obtenemos los siguientes datos:

$$m_{t} = 0,0226 M_T;  r_t = 0,4 R_T$$

Con éstos, ya podemos pasar a resolver el problema.  Como conocemos el valor de la gravedad terrestre, podemos poner:

$$g_T = \frac{G M_T}{R_T^2} \to G = \frac{g_T \cdot R_T^2}{M_T}$$

Mientras que en Titán es

$$g_t = \frac{G m_t}{r_t^2}$$

Sustituyendo ahora el valor de $G$ previamente hallado, tenemos:

$$g_t = \frac{G m_t}{r_t^2} = \frac{g_T \cdot R_T^2 \cdot m_t}{r_t^2 \cdot M_T} = \frac{9,8 \cdot R_T^2 \cdot 0,0226 M_T}{0,16 R_T^2 \cdot M_T}$$

Por lo que podemos concluir que la gravedad en Titán es:

$$\boxed{g_t = 1,38 m/s^2}$$

Para sacar este problema debemos ver la relación entre el período y el radio. Por lo tanto, desarrollamos como en los ejercicios anteriores hasta llegar a la ecuación que nos da la relación entre $T$ y $R$:

$$R = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4 \pi^2}}$$

Como se ve en esta ecuación, cuanto mayor es el período de rotación de la Tierra (que equivale al de traslación del satélite), mayor es el radio de la órbita. Por lo tanto, si el período era menor, el satélite debía estar más cerca.

Es algo lógico, ya que si su período de traslación debe coincidir con el de rotación de la Tierra, al ser el período menor (al girar la Tierra más rápido), el satélite deberá trasladarse también más rápido, lo que se consigue acercándolo al planeta. 

En este caso, la distancia total, $R_{ISS}$, es igual a :

$$R_{ISS} = 3,6 \cdot 10^5 + 6,67 \cdot 10^6 = 6,73 \cdot 10^6 (m)$$

Podemos calcular la masa del astronauta sabiendo que:

$$P_0 = m \cdot g_0 \to m = \frac{P_0}{g_0}$$

Al mismo tiempo, tenemos que

$$g_0 = \frac{GM}{R_T^2} \to GM = g_0 \cdot R_T^2$$

Y sustituyendo esta expresión en la aceleración de la gravedad de la ISS tenemos:

$$g_2 = \frac{GM}{R_{ISS}^2} = \frac{g_0 \cdot R_T^2}{R_S^2}$$

Por lo tanto, su peso en la ISS será:

$$P_2 = m \cdot g_2 = \frac{P_0}{g_0} \cdot g_2 = \frac{P_0}{g_0} \cdot \frac{g_0 \cdot R_T^2}{R_S^2} = \frac{P_0 \cdot R_T^2}{R_S^2}$$

Concluimos, el peso del astronauta en la ISS es igual a:

$$\boxed{P_2 = 716,7 (N)}$$