Campo gravitatorio III

Vamos a ver qué ocurre ahora con los satélites en órbita:

1. Conservación de la energía mecánica

Teniendo en cuenta lo dicho en el primer punto del post anterior, tenemos que siempre que actúe únicamente la fuerza gravitatoria, la energía mecánica permanece constante:

2. Energía cinética

La energía cinética es la energía que posee un cuerpo por el hecho de estar moviéndose, y podemos expresarla como:

* Recordemos que, para trabajar en el Sistema Internacional, debemos poner la masa en kg y la velocidad en m/s, de forma que la unidad de la energía es el Julio (J).

Pero un satélite en la órbita no tiene una velocidad cualquiera, sino la velocidad orbital, calculada en el post anterior:

Por lo tanto, la energía cinética podemos escribirla como:

Por lo que podemos concluir:

(I)

*La energía cinética debe salirte siempre positiva

3. Energía potencial 
Vamos a calcular la energía potencial en un punto A.

Se define como el trabajo que realiza el campo para trasladar un cuerpo de masa m desde un punto A hasta el infinito (por lo tanto, Ep(inicial) = Ep(A) y Ep(final) = Ep(∞)):
Veamos un dibujo para ponernos en situación:

Entonces, sabiendo que el vector unitario u_r y el de dr (sentido y dirección del desplazamiento desde A hasta infinito) tienen la misma dirección y sentido (son paralelos y forman 0º entre sí):

y que

tenemos:

Desarrollando más:

Como podemos observar:

Es decir, aquí podemos ver que:

algo explicado en este otro post.

Siguiendo con nuestra expresión anterior:

Sabemos que Ep(∞) = 0  porque

Por lo tanto:

donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa del cuerpo al que orbita (como un planeta), m es la masa del satélite o cuerpo que orbita y r es la distancia entre los planetas (suma de la distancia entre la superficie del cuerpo de masa M y la distancia entre los dos cuerpos. Esto se verá en ejercicios resueltos).

* La energía potencial debe salirte negativa. El máximo valor posible de la energía potencial es cero, y se alcanza en el infinito (donde nuestro cuerpo se zafa de toda fuerza gravitatoria. Está libre y, por lo tanto, no tiene energía potencial gravitatoria)

4. Energía mecánica (en la órbita)

Es la energía mecánica de un cuerpo de masa m en la órbita (de un planeta de masa M y a una distancia R) pues, como se va a ver a continuación, la velocidad que tomaremos va a ser la orbital.

- Cálculo de la energía mecánica total en la órbita. Teniendo en cuenta el punto 1, podemos escribir:

Ahora hacemos el mínimo común múltiplo:

De forma que llegamos a la expresión:

* La energía mecánica total puede salir negativa o positiva. En el último punto discutiremos el significado de cada uno.

- Igualmente, podríamos establecer una relación entre la energía potencial y la energía cinética:

De esta forma, podemos concluir que:

5. Cambio de órbita y traslado de satélites

Desarrollaremos este punto teniendo en cuenta la Ley de la Conservación de la Energía.

- Desde la superficie hasta una altura h

La subida de los satélites a órbita se desarrolla en dos fases: se le sube hasta una altura h y, posteriormente, se le da la velocidad necesaria mediante propulsores para que describa la órbita (velocidad orbital). 

Tomemos el punto A como la superficie de la Tierra y B como el punto de una órbita al que queremos llevar el satélite. Tenemos entonces que la energía necesaria para que ascienda debe va a coincidir con el trabajo realizado para llevarlo a dicha altura. Veámoslo con más calma:

Como hemos dicho en antes, este proceso está dividido en dos partes: ascensión del satélite y otra fase independiente: darle la velocidad orbital. Por lo tanto, sólo nos estamos ocupando de la primera fase, la subida. Por ello, la energía cinética final es cero (sólo lo subimos): Ec(B) = 0. Por lo tanto:

Es decir, la energía (cinética) que nosotros tendríamos que darle para que ascienda hasta la órbita coincide con la variación de la energía (potencial) y, por lo tanto, con el trabajo realizado. Dicho de otro modo, la energía que debemos suministrarle debe ser igual al trabajo que hay que realizar para subirlo. 
Gracias a esta expresión, podemos calcular la velocidad necesaria para subirlo hasta dicha altura:

Y así:

- Desde una órbita a otra

Siguiendo con el principio de la conservación de la energía, tenemos que la energía total en un punto cualquiera, A, de una órbita, debe ser igual al de un punto B de otra órbita. De igual forma que la anterior, obtenemos el trabajo realizado para pasarlo de una órbita a otra, que coincide con la energía cinética que hay que suministrarle para que sea posible ese cambio (W = Ec(A)):

Pero en este caso debemos tener en cuenta que la energía con la que estamos jugando es la energía de la órbita (la potencial gravitatoria + la energía cinética debido a la velocidad orbital), que podemos expresar como en el punto (5), de forma que: 

Y desarrollando más aún:

6. Velocidad de escape

Es  la velocidad mínima con la que debe lanzarse un cuerpo para que escape de la atracción gravitatoria de un planeta, estrella u otro cuerpo. Como es la velocidad mínima, le damos la velocidad justa para que se zafe de la fuerza de la gravedad pero que no tenga velocidad final (energía cinética final nula). El punto donde escapa de la atracción gravitatoria, como dijimos previamente, tiene lugar en el infinito (en el infinito la energía potencial es cero). Por lo tanto, hay que trasladar el cuerpo al infinito. 

Desarrollando también por la conservación de la energía:

Por lo tanto:

Y desarrollando:

Como curiosidad: Podemos establecer una relación entre la velocidad de escape y la orbital:

La velocidad de escape nos sirve como indicador, junto con el signo de la energía mecánica, para saber si un cuerpo escapa de la atracción gravitatoria de otros. Veamos los casos que pueden darse:

1. Si v < v_e, entonces el cuerpo se encuentra atado por la fuerza gravitatoria, no puede escapar. La órbita que describe es una parábola (si v > v_orbital) o una circunferencia (si v = v_orbital). Igualmente, si es menor que la velocidad orbital, el cuerpo caerá sobre el planeta, estrella (trayectoria: elipse incompleta)… En este caso, se cumple que la energía mecánica es menor que cero.

2. Si v = v_e, el cuerpo tendrá la velocidad suficiente para escapar de la atracción gravitatoria (llegar al infinito), aunque una vez que llegue allí, no tendrá nada de velocidad. La energía mecánica es igual a cero.

3. Si v > v_e, el cuerpo tendrá suficiente energía para escapar de la atracción gravitatoria y llegar al infinito con una determinada velocidad. La energía mecánica es mayor que cero. 

Esto aparece resumido en la siguiente tabla: 

7. Caídas de cuerpos desde una altura r

Esto se resuelve muy fácilmente por la ley de la conservación de la energía. Si tenemos un cuerpo que cae hacia un planeta, estrella... a una altura r (r = R + h), donde R es el radio del cuerpo hacia el que cae, podemos fácilmente calcular la velocidad con la que se estrellará contra la superficie:

Esquema de la situación

De esta forma:

Y sabiendo que la energía cinética en A es la que tendrá milésimas de segundo antes de estrellarse, podemos poner:

Desarrollando, llegamos a la expresión:

Campo gravitatorio II

1.  Trabajo y fuerzas conservativas

En este otro post hablamos del trabajo de una forma más extensa. Partiendo de lo ya dicho en ese post:

Una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado a lo largo de una superficie cerrada es cero; es decir, el trabajo realizado no depende del camino seguido, sino de la posición inicial y final. Matemáticamente:

Veamos esto con dos ejemplos:

A pesar de la trayectoria seguida, el trabajo realizado por la fuerza es el mismo (sólo depende de 1 y 2)

W(S₁) = W(S₂)

W_TOTAL = W(C₁) + W(C₂);   W(C₁) = - W(C₂) (porque son de sentido contrario) → W_TOTAL = 0

La fuerza gravitatoria es un ejemplo de fuerza conservativa. Esto nos permite decir que la energía mecánica es, por lo tanto, constante:

Las fuerzas centrales son aquellas que están constantemente dirigidas hacia un mismo punto, independientemente de la posición de la partícula sobre la que está actuando. La fuerza gravitatoria, por ejemplo, es una fuerza central, así como la eléctrica o la centrípeta. Todas las fuerzas centrales son conservativas. 

En estas fuerzas, por lo tanto, la fuerza (en negro) y el vector del radio (en rojo), forman 180º. Teniendo en cuenta esto, podemos pasar a demostrar que el momento angular en estas fuerzas (y, por lo tanto, en la gravitatoria), es constante.

Para ello tenemos el momento de una fuerza (también llamado "torque"), que ese define como:

siendo su módulo:

donde r es vector que une el origen O con el punto donde se encuentra el cuerpo de masa m y F es la fuerza que se le aplica. Su unidad de medida es el Newton-metro (N · m).

Igualmente, pasaremos a definir el momento angular de una partícula (imagen superior):

donde r es la distancia desde el punto O hasta donde se encuentra el cuerpo de masa m y p es su momento lineal: la masa multiplicada por su velocidad. En módulo:

Al mismo tiempo, se cumple que:

como se demuestra fácilmente:

pero como r es constante, tenemos que

por lo que

y, al mismo tiempo, tenemos que tener en cuenta que

que nos permite llegar a

Teniendo en cuenta la II Ley de Newton:

Obtenemos así la expresión buscada:

Partiendo de esta expresión ya estamos en condiciones de demostrar que en el campo gravitatorio el momento angular es constante:

Pero en el campo gravitatorio, como se puede ver en la primera imagen, los vectores de r y de F forman 180º, por lo que su producto vectorial (y, por lo tanto, el momento de la fuerza) es cero:

Al mismo tiempo, utilizando la relación entre el momento de la fuerza y el momento angular:

Por lo tanto, la derivada del momento angular debe ser cero, algo que sólo se consigue si el momento angular es constante (recordemos que la derivada de una constante es cero). 

2. Vector intensidad campo gravitatorio

La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que ejerce el campo sobre la unidad de masa colocada en dicho punto. Puede considerarse, igualmente, con la aceleración que experimenta un cuerpo en caída libre sobre el que lo atrae. Sin embargo, no debe confundirse con la aceleración de la gravedad, que es un campo gravitatorio concreto: el de la Tierra. Matemáticamente:

En notación vectorial:

El signo significa que el vector intensidad del campo gravitatorio tiene el mismo sentido que la fuerza de gravedad pero que éste es opuesto a u_r, pues está dirigido hacia la masa que lo crea. 

La unidad de medida de este vector es la misma que la de la aceleración: N/m =  m/s², y, como se ve, es una aceleración independiente de la masa del objeto. 

A todo punto del espacio que rodea a la Tierra se le puede asociar un vector intensidad de campo gravitatorio terrestre, recibiendo el nombre de "aceleración de la gravedad".  La dirección de este vector es la de la línea que une el objeto con la Tierra, y el sentido es hacia el centro de la Tierra. 

2. Variación de la gravedad con la profundidad

La gravedad sobre la superficie es:

 (I)

Por lo tanto, en el interior de la Tierra será:

(II)

Y, como se aprecia en la fórmula, disminuye con el cuadrado de la distancia (sólo se anula en el infinito).

Por otra parte, la masa de la Tierra es:

donde r es la densidad de la Tierra, la cual, para facilitar los cálculos, consideraremos uniforme (todos los puntos de la Tierra tienen la misma densidad).

Si ahora tomamos la esfera del interior de la Tierra (en la imagen, la esfera roja), con un radio r < R; r = R - h tenemos que su masa es:

Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones (puesto que queremos quitarnos de encima 4/3, r y p):

Ahora sustituimos esto en la fórmula de la expresión de la gravedad en el interior (II):

De esta forma, llegamos a:

Y, desarrollando más (teniendo en cuenta (I)):

Otra expresión igualmente válida es (sabiendo que r = R - h):

Es decir, a medida que se profundiza en el interior de la Tierra el valor de g disminuye, anulándose en el centro de la Tierra, donde h = R, como se ve en esta gráfica:

Para más información, puedes consultar aquí.

               

3. Potencial gravitatorio
Se denomina potencial en un punto A del campo gravitatoria al trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar la unidad de masa sometida a la acción del campo desde el infinito hasta dicho punto. Como se definirá a continuación la energía potencial, podemos tomarlo también como la energía potencial de un sistema entre la masa:

Y como V(∞) = 0, tenemos que:

4. Líneas de campo y superficies equipotenciales

Un campo de fuerzas, como es el gravitatorio, podemos representarlo por líneas de fuerza y superficies equipotenciales:
- Líneas de fuerza: En cada punto, el vector intensidad del campo gravitatorio es tangente a las líneas de campo y tiene el mismo sentido que éstas.
Por otra parte, han de trazarse de modo que la densidad de líneas de campo (número de líneas que atraviesan la unidad de superficie colocada perpendicularmente a éstas) sea proporcional al módulo del campo gravitatorio. El campo será más intenso, por lo tanto, en aquellas regiones en las que las líneas de campo estén más juntas.

- Superficies equipotenciales: Al unir los puntos en los cuales el potencial gravitatorio tiene el mismo valor, podemos obtener una serie de superficies llamadas superficies equipotenciales. Éstas son perpendiculares a las líneas de campo en cualquier punto. Además, para un masa puntual, el potencial toma el mismo valor en todos los puntos situados a la misma distancia de la masa. Por lo tanto, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas con el centro de la propia masa.

Esto, además, nos permite utilizar una expresión para el trabajo realizado por el campo:

En el caso de encontrarse A y B en la misma superficie equipotencial, va a cumplirse que el trabajo realizado por el campo es igual a cero: