New Horizons llega a Plutón

La tensión se palpaba en el ambiente. Ha sido mucho tiempo de espera. Nueve años, ni más ni menos. Se acercaba el momento. A los poco días iban llegando las fotografías captadas por el telescopio que lleva la nave, LORRI (sistema de Reconocimiento de Imágenes de Largo Alcance). Estas imágenes desvelaron, por ejemplo, que Plutón era de mayor tamaño de lo que se pensaba (su diámetro es de 2.370 km, frente a los 2.306 km calculados en el año 2006) y, por lo tanto, su densidad sería menor, lo que podría suponer que el porcentaje de hielo en su composición es mayor del creído hasta el momento. En cualquier caso, este reajuste en su tamaño (que nos indica que es el 68% del tamaño de nuestra Luna), implica que es el mayor objeto que se conoce más allá de Neptuno.

En este enlace puedes consultar todas las imágenes que se van recibiendo desde la New Horizons, ordenadas desde la más antigua a la más reciente.

Imagen recibida el 11/07/2015

Estas fotografías mostraban que había una importante actividad geológica en Marte. Pero se necesitaba una mayor cercanía y más tiempo para estudiar las fotografías y los datos que iban arrojando.

También esta misión está sirviendo para confirmar el tamaño de Caronte, una luna de Plutón (quien tiene hasta 5 lunas por lo que conocemos, número hallado cuando la nave ya estaba en camino), situándola en unos 1.208 kilómetros de diámetro. Las lunas más pequeñas, llamadas Nix e Hydra, unos 35 y 45 kilómetros, respectivamente. Sobre las otras dos lunas de Plutón, Cerbero y Estigia, no hay todavía datos concluyentes. 

De todas formas, el satélite Nix lleva ya unos meses provocando dolores de cabeza en los científicos que la estudian debido a su complicada rotación, que se puede ver en este vídeo de la ESA:

Mientras, gran parte de población se centraba en otros asuntos, ajenos e indiferentes a la importancia de estos hallazgos. Como contraste, los científicos y los aficionados a la Ciencia recibían las noticias impacientes y completamente apasionados.

Aquí tenemos al equipo de la NASA cuando les llegaron imágenes de Plutón

Los días iban pasando y los kilómetros se iban recorriendo. La ilusión era contagiosa, y no olvidemos que estos científicos son grandes nerds. Mezcla explosiva.

Equipo de la NASA con pegatinas donde puede leerse "Mi otro vehículo va de camino a Plutón"

Las redes sociales también se contagiaban de este ambiente, lleno de ilusión y expectación.

Traducción: tiempo - 40 minutos. 35858 km para el máximo acercamiento

El día 14 de julio, cuando tendría lugar el "Flyby" de la New Horizons sobre Plutón, toda la comunidad científica estaba volcada. 

Google homenajea a la New Horizons con un Doodle

Cientos de periodistas de todos los rincones del mundo aguardaban las declaraciones de la NASA y presenciar el mágico momento. 

Objetos entregados a los periodistas encargados de cubrir la noticia en el Laboratorio de Física Aplicada (APL)

El nerviosismo se iba apoderando de los miembros del equipo de la New Horizons a medida que se acercaba el momento. Y más si a esto le sumamos que no se tenía conexión directa. Con el fin de permitir que la New Horizons recabara toda la información científica posible, se habían interrumpido las comunicaciones. La nave estaba completamente centrada en su trabajo. Aunque no sabía cómo le iría a la nave, los relojes seguían corriendo. Pero sí que sabían, y con mucha exactitud, el momento en el que tendría lugar el flyby, sólo a 12.500 km de distancia del planeta. En este vídeo se aprecian esos segundos previos en el APL:

La celebración recordaba a la que hacía dos años, el 6 de agosto de 2012, se había vivido con el Róver Curiosity de Marte, guardando las distancias (nunca mejor dicho, pues en este caso hay varios millones de kilómetros entre ambos planetas, Marte y Plutón), claro está.

Miembro del equipo de New Horizons
Toda una vida de estudio de Ciencias y trabajo se ven recompensados por momentos como este

Como se ha dicho, desde la pasada noche, del día 13 de julio, lunes, y durante las siguientes 22 horas, la New Horizons se centrará por completo en obtener todos los datos científicos de los que sea capaz y no se va a comunicar con la Tierra, por lo que no se sabrá si ha habido algún problema hasta las 3 de la mañana del miércoles 15 de julio, hora española. Si la nave se encuentra con alguna roca u otro cuerpo en su trayectoria, el equipo no podrá ayudarla y, muy posiblemente, quedará inservible (e incluso puede que no sea capaz de enviarlos los datos obtenidos). Sin embargo, la NASA estima que el riesgo de colisión es de 1 entre 10.000, pero asegura que no hay que bajar la guardia puesto que la misión va hacia lo desconocido.

En cualquier caso, mientras el tiempo de espera se va reduciendo (se espera que a las 3 de la madrugada, hora española, avise sobre su estado y que, sobre las 11 de la mañana comience a enviar los datos recopilados), la NASA ha hecho pública una imagen de Plutón coloreada y procesada. Esta es, por lo tanto, la mejor imagen de Plutón jamás obtenida (hasta el momento, aunque New Horizons tardará 16 meses en enviarnos todas sus imágenes en alta resolución, por lo seguirá enviando imágenes hasta finales del año 2016):

El tiempo de vuelo sobre Plutón dependerá de lo que descubra allí. Sin embargo, no se va a poner en órbita, debido principalmente a la dificultad que tiene llevar a cabo dicho proceso a tanta distancia y con la pequeña masa de Plutón. En cualquier caso, esta misión, cuya energía se basa en plutonio, en ningún caso durará tanto como las sondas Voyager lanzadas en 1977. Otra diferencia con estas naves es que no girará en ningún momento para fotografiar la Tierra ("the pale blue dot" o "pálido punto azul ", en español), aunque sí que va a intentar fotografiar la cara oculta de Plutón, algo sumamente complicado y que tendrá que basarse en la escasa luz que refleje su luna Caronte.

Como anunciamos en el anterior post, en 1930 el científico Clyde Tombaugh descubrió Plutón, y sus cenizas viajan acopladas en la nave New Horizons que acaba de alcanzar Plutón. Hoy, Tombaugh ha vuelto a casa.

Clyde Tombaugh (1930 - 1997)

Matemáticas ESO: Raíces

Imaginemos que tenemos una tarta y queremos partirlo en trozos muy pequeños. Para ello, la partimos por la mitad (2 trozos) y cada uno de estos trozos, otra vez por la mitad (4 trozos), los cuales volvemos a dividir (8 trozos), y así sucesivamente (16 trozos, 32 trozos...)

Los trozos que vamos obteniendo los vamos multiplicando por 2 al dividirlos. Por lo tanto, para saber cuántos trozo tengo al final tendré que multiplicar $2 \cdot 2 \cdot 2 ...$ tantas veces como divisiones haya hecho. Es decir, si he partido la tarta tres veces, tendré $2 \cdot 2 \cdot 2$, que es igual a 8. 

Pero si hablamos de divisiones más grandes, como 20, por ejemplo, es muy aburrido y largo poner $... \cdot 2$ veinte veces, por eso resumimos esto así: $2^{20}$, lo que significa que el dos se multiplica por sí mismo veinte veces. 

Entonces, para saber el número de trozos que tenemos tras $n$ divisiones, podemos ponerlo como $2^n$.

Igualmente podemos hacer con todos los demás números:

$$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 125$$

$$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81$$

Recordamos que esto sólo se puede poner cuando un número se multiplica por sí mismo. Es decir:

$5 \cdot 5 \cdot 3 \neq 5^3$. Esto está mal

Pero esto está bien: $5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 125$

O incluso podemos poner: $5 \cdot 5 \cdot 3 = (5 \cdot 5) \cdot 3 = 5^2 \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75$.

¿Y cuál es la operación contraria? Es decir, si a mí me dan el número 4, ¿cuál es el número que, multiplicado por sí mismo, dos veces, por ejemplo, da cuatro? Llamemos a ese número $x$:

$$x \cdot x = x^2 = 4$$

Sabemos que es 2, porque $2 \cdot 2 = 2^2 = 4$, pero hay veces que no es tan sencillo,como si nos piden saber el del número $144$. En cualquier caso, siguiendo con el ejemplo anterior, se dice que 2 es la raíz (cuadrada) de cuatro, porque $2 \cdot 2$ (2 multiplicado por sí mismo) es igual a cuatro.

¿Cómo se expresa eso? Así:

$$2 = \sqrt{4}$$

Esto es un radical (el nombre de raíz se suele usar como sinónimo de radical, como puedes ver aquí. En realidad se diría que 2 es la raíz de 4 y que $\sqrt{4}$ es el radical, pero tampoco es muy importante):

$$\boxed{\sqrt[n]{x}}$$

 A $n$ se le llama índice de la raíz. Si $n =2$, se dice que es una raíz cuadrada; si $n=3$, se dice que es cúbica. Por otra parte, a $x$ se le llama radicando.

Cuando estamos hablando de raíces cuadradas, podemos omitir (no poner) el índice. Es decir, que si tenemos $\sqrt[2]{3}$, podemos poner directamente $\sqrt{3}$. Se sobreentiende que hablamos de raíces cuadradas.

Es importante saber que hay otra forma de expresar las raíces. 
$$\boxed{\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}}$$ Por ejemplo: 
$\sqrt{25} = 25^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[37]{5} = 5^{\frac{1}{37}}$
 $\sqrt[21342]{2} = 2^{\frac{1}{21342}}$

Recordemos que si un número negativo se multiplica por otro negativo, el resultado va a ser un número positivo (negativo por negativo es positivo). Por ejemplo $-1 \cdot (-2) = 2$ o en $-5 \cdot (-2) = 10$. Por lo tanto, no vamos a poder encontrar ninguna raíz cuadrada (con los números que trabajamos, llamados números reales) negativa. Es decir, no tiene sentido poner $\sqrt{-4}$, porque ¿qué número multiplicado por sí mismo va a salir negativo? Si el número que tenemos es positivo, la multiplicación por sí mismo (más por más) va a salir positivo. Si el número es negativo, como acabamos de ver, también su multiplicación por sí mismo va a salir positiva. 

Esto se puede extender a cualquier multiplicación de un número por sí mismo un número par de veces. Por lo tanto, podemos decir que si en un radical el índice $n$ es par, como radicando sólo podemos tener números postivos. $\sqrt{3}, \sqrt[6]{4}, \sqrt[600]{2}$. Nunca uno negativo, como ocurre en $\sqrt{-3}, \sqrt[6]{-4}$ o con $\sqrt[600]{-2}$.

Si el índice, $n$, es un número impar, sí que podemos tener un radicando negativo, puesto que un número negativo multiplicado por sí mismo un número impar de veces, como tres, por ejemplo, nos va a seguir saliendo negativo (menos por menos por menos = más por menos = menos), como ocurre en $-3 \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$
Por lo tanto, sí que podemos tener $\sqrt[3]{-27}, \sqrt[5]{-32}$ o $\sqrt[7]{-144}$  


Podemos entonces concluir, teniendo presente $\sqrt[n]{x}$, que:
a) Si $n$ es un número par (2, 4, 6, 8...), $x > 0$, es decir, $x$ debe ser un número positivo.
b) Si $n$ es un número impar (3, 5, 7, 9), $x$ puede ser positivo o negativo.

- OPERACIONES CON RAÍCES.

1. Suma y resta de raíces.
A no ser que tengan el mismo índice y radicando poco podemos hacer.

Si yo tengo dos raíces con el mismo índice y radicando (es decir, $n$ y $x$ igual), se pueden agrupar. Por ejemplo:

$$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} = 2 \cdot \sqrt[3]{2}$$

¿Por qué? Porque es lo mismo que cuando tenemos $x + x = 2x$. En este caso $\sqrt[3]{2}$ equivaldría a $x$ (o sea: $x =\sqrt[3]{2}$). Es decir, estamos sumando dos cosas iguales.

Si no son iguales, no puedo ponerlo así, como sucede cuando tenemos $x + y$: $\sqrt[3]{2} + \sqrt[5]{2}$, si aparece $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ o cuando tenemos $\sqrt[6]{34} + \sqrt[4]{768}$

Por lo tanto, podemos hacer $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2} = 2 \cdot \sqrt[3]{2}$, pero no $\sqrt[6]{34} + \sqrt[4]{768}$.

Lo mismo ocurre con la resta. Si yo tengo $3x - x$, sí que lo puedo hacer, y es $2x$, pero si tengo $3x - y$, no puedo hacer nada, tengo que dejarlo como está. Pongamos algunos ejemplos:

$5 \sqrt{5} - 2\sqrt{3} + \sqrt[3]{5} - 3 \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} + \sqrt[3]{5} - 2 \sqrt{3}$

$6 \sqrt[34]{2} + 4 \sqrt[34]{5} - \sqrt[2]{2} + 4 \sqrt[2]{2} = 6 \sqrt[34]{2} + 4 \sqrt[34]{5} + 3 \sqrt[2]{2}$

2. Multiplicación de raíces.
a) Mismo índice. La multiplicación es un poco más liosa. Pueden tener distinto radicando; es decir, una puede ser $\sqrt{3}$ y la otra $\sqrt{2}$, lo único que exige es que tengan el mismo índice. 
Si tienen el mismo índice, éste se deja como está y se multiplican los radicandos. Es decir:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt {2} = \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{6}$
$\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{30} = \sqrt[4]{5 \cdot 30} = \sqrt[4]{150}$
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt[3]{30}$
$\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[3]{89}$, cuidado. Esta no se puede hacer, pues tienen distinto índice.

De esta forma, podemos poner:
$$\boxed{\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}}$$

b) Distinto índice. Si tienen diferente índice pero deseo operarlos, hay igualmente una forma de hacerlo:
Hay que usar el mínimo común múltiplo de los índices de las diferentes raíces. Por ejemplo:
$$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4}$$
El mínimo común múltiplo de 2 y de 3 es 6. 
Como el índice de la primera raíz es 2, hay que multiplicar por sí mismo al radicando $\frac{6}{2} = 3$, 3 veces; es decir, elevarlo a tres. En el segundo caso, habrá que elevarlo a dos ($\frac{6}{3} = 2$).
Por lo tanto:
$$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{2^3} \cdot \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{2^3 \cdot 3^2} = \sqrt[6]{8 \cdot 9} = \sqrt[6]{62}$$

Podemos entonces poner, generalizando:
$$\boxed{\sqrt[n_1]{x} \cdot \sqrt[n_2]{y} = \sqrt[m.c.m.(n_1, n_2)]{x^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_1}} \cdot y^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_2}}}} $$

Ejemplos:

$\sqrt[6]{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{3 \cdot 3^3} = \sqrt[6]{3^4} = \sqrt[6]{81}$

$\sqrt[2]{2} \cdot \sqrt[7]{5} = \sqrt[14]{2^7} \cdot \sqrt[14]{5^2} = \sqrt[14]{2^7 \cdot 25}$

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[12]{4^3} \cdot \sqrt[12]{2^3} = \sqrt[12]{4^3 \cdot 2^3}$ $= \sqrt[12]{(2 \cdot 2)^3 \cdot 2^3} = \sqrt[12]{2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3} = \sqrt[12]{2^9}$


3. División de raíces.En este caso ocurre exactamente lo mismo que con las multiplicaciones. 
a) División raíces con el mismo índice.
$$\boxed{\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}}$$ Ejemplos:
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$

$\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{6}} = \sqrt[3]{\frac{5}{6}}$

$\frac{\sqrt[45]{11}}{\sqrt[45]{22}} = \sqrt[45]{\frac{1}{2}}$

$\frac{\sqrt[34]{234}}{\sqrt[32]{3289}}$ no se puede hacer

Y también en sentido inverso:

$\sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\sqrt[7]{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{5}}$

$\sqrt[8]{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt[8]{8}}{\sqrt[8]{3}}$

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Partiendo de este último ejemplo, vemos que 
$$\boxed{\sqrt[n]{\frac{1}{x}} = \frac{\sqrt[n]{1}}{\sqrt[n]{x}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x}}}$$

Como se ve en estos ejemplos:
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

$\sqrt[3598]{\frac{1}{68}} = \frac{1}{\sqrt[3598]{68}}$

b) División de raíces de distinto índice. Se efectúa igual que con las multiplicaciones: utilizando el mínimo común múltiplo de ambos índices.
$$\boxed{\frac{\sqrt[n_1]{x}}{\sqrt[n_2]{y}} = \sqrt[m.c.m.(n_1, n_2)]{\frac{x^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_1}}}{y^{\frac{m.c.m.(n_1,n_2)}{n_2}}}}} $$

Ejemplos:
$\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[2]{6}} = \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{6^2}} = \sqrt[4]{\frac{3}{36}} = \sqrt[4]{\frac{1}{13}}$

$\frac{\sqrt[5]{2}}{\sqrt[2]{7}} = \frac{\sqrt[10]{2^2}}{\sqrt[10]{7^5}} = \sqrt[10]{\frac{4}{7^5}}$

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[6]{5}} = \frac{\sqrt[6]{3^3}}{\sqrt[6]{5}} = \sqrt[6]{\frac{27}{5}}$

4. Potencia de raíces

¿Qué ocurre si un radical si se multiplica a sí mismo? Es decir, si tenemos esto:
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = {(2^{\frac{1}{3}})}^{2}$

Podemos decir, generalizando, que es:
$$\boxed{ \sqrt[n]{x^y} = {(\sqrt[n]{x})}^{y} = {(x^{\frac{1}{n}})}^{y} = x^{\frac{1}{n} \cdot y} = x^{\frac{y}{n}}}$$

Poniendo varios ejemplos:
${(\sqrt{5})}^{3} = 5^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{5^3}$
${(\sqrt[7]{9})}^{3} = 9^{\frac{3}{7}} = \sqrt[7]{9^3}$
$\sqrt[12]{2^9} = {(\sqrt[12]{2})}^{9} = 2^{\frac{9}{12}} = 2^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{2^3}$
${(\sqrt[2]{5})}^{8} = 5^{\frac{8}{2}} =  5^{4}$

Con este último ejemplo podemos deducir una cosa: si una raíz n-ésima (de índice $n$) está elevada a ese mismo valor (elevada a $n$), el valor final es el del radicando.
Es decir, si tengo ${(\sqrt[3]{2})}^{3} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2$, o si tenemos ${(\sqrt[344]{15})}^{344} = 15^{\frac{344}{344}} = 15^1 = 15$

Por lo tanto, podemos poner:
$$\boxed{{(\sqrt[n]{x})}^{n} = x^{\frac{n}{n}} = x^1 = x}$$

Conocer esta forma de expresar las raíces nos va a permitir la simplificación de las mismas. Por ejemplo:
$\sqrt[12]{9} = \sqrt[12]{3^2} = 3^{\frac{2}{12}} = 3^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{3}$
$\sqrt[2]{81} = \sqrt[2]{3^4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^2 = 9$
$\sqrt[6]{125} = \sqrt[6]{5^3} = 5^{\frac{3}{6}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$
$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2^{\frac{4}{4}} = 2^1 = 2$


5. Introducir o extraer factores de una raíz
- Sacar factores de la raíz
Al mismo tiempo, sabiendo cómo funcionan las potencias de las raíces podremos sacar o introducir números a un radical.
Recordemos una de las propiedades de la multiplicación, expuesta en el punto (2): $\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$
Partiendo de la fórmula general de los radicales, $\sqrt[n]{x^a}$, pueden darse dos casos:

a) El radicando de un radical está elevado a un número menor que el del índice. Es decir $a < n$. En este caso, el radical se queda como está. Como ejemplos, tenemos:
$\sqrt{2} = \sqrt[2]{2^1}$

$\sqrt[7]{4^3}$

$\sqrt[50030]{2^{50029}}$

b) El radicando de un radical está elevado al mismo número del índice. Es decir, $a = n$. Esto  ya lo hemos estudiado antes, en las potencias. Es el caso de:
$\sqrt{4} = \sqrt[2]{2^2} = 2^{\frac{2}{2}} = 2^1 = 2$

$\sqrt[234]{3^{234}} = 3^{\frac{234}{234}} = 3$

Es decir: ${(\sqrt[n]{x})}^{n} = \sqrt[n]{x^n}=x^{\frac{n}{n}} = x$

También se va a poder simplificar en el caso de que haya, como radicando, varios números multiplicándose o dividiéndose:
$\sqrt{3^2 \cdot 5^4} = 3 \cdot 5^2$

$\sqrt[3]{4^3 \cdot 6^3} = \sqrt{{(2^2)}^{3} \cdot {(2 \cdot 3)}^{3}} = \sqrt{2^6 \cdot 2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{2^9 \cdot 3^3} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$

Aunque este último ejemplo se podría haber hecho mucho más simple así:
$\sqrt[3]{4^3 \cdot 6^3} = \sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt[4]{6^3} = 4 \cdot 6 = 24$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot \sqrt{3}} = 2^2 \cdot \sqrt{3} $

$\sqrt{100} = \sqrt{5^2 \cdot 2^2} = 5 \cdot 2$

c) El radicando de un radical está elevado a un número mayor que el del índice. Es decir $a > n$. Es el caso de $\sqrt{3^3}$ o de $\sqrt[3]{2^8}$. En este caso, vamos a poder sacar fuera algún factor. 

c.1. Si el número al que está elevado es un múltiplo del índice, como ocurre con $\sqrt[2]{3^4}$, $\sqrt[2]{3^{56}}$ o con $\sqrt[5]{2^{50}}$.
Este caso es simple, porque para ello utilizamos las potencias. En los ejemplos expuestos:
$\sqrt[2]{3^4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^2 = 9$

$\sqrt[2]{3^{56}} = 3^{\frac{56}{2}} = 2^{28}$

$\sqrt[5]{2^{50}} = 2^{\frac{50}{5}} = 2^{10}$

c.2. Si el número al que está el evado es no es un múltiple del índice, como ocurre con $\sqrt[3]{2^4}, \sqrt[5]{3^8}, \sqrt{3^5}$ o con $\sqrt[7]{2^{12}}$. En este caso lo que hacemos es dividir el exponente por el índice. El valor del cociente de la división va a ser el número al que vamos a elevar al factor, ya fuera de la raíz, y el resto es el número al que elevamos al que se queda dentro de la raíz. Pongamos ejemplos:

$\sqrt[3]{2^4} \to \frac{4}{3}$, división en la que nos sale de cociente 1 y, de resto, también 1. Por lo tanto:
$\sqrt[3]{2^4} = 2^1 \cdot \sqrt[3]{2^1}$ (recordemos que el 1 del primer 2 es debido al cociente y, el segundo, al resto de la división) 

$\sqrt[5]{3^8} \to \frac{8}{5}$, división en la que nos sale 1 de cociente y, de resto, 3. Por lo tanto:
$\sqrt[5]{3^8} = 3^1 \cdot \sqrt[5]{3^3}$

$\sqrt{3^5} \to \frac{5}{2}$, división en la que obtenemos 2 de cociente y, de resto, 1. Por lo tanto:
$\sqrt{3^5} = 3^2 \cdot \sqrt{3}$

$\sqrt[7]{2^{12}} \to \frac{12}{7}$, división en la que obtenemos 1 de cociente y, de resto, 5. Por lo tanto:
$\sqrt[7]{2^{12}} = 2^1 \cdot \sqrt[7]{2^5}$

Esto se va a seguir cumpliendo aunque haya diferentes números multiplicándose o dividiéndose dentro del radical. Por ejemplo:
$\sqrt[3]{2^4 \cdot 5} = 2 \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 5}$

$\sqrt[5]{3^8 \cdot 2^4} = 3 \cdot \sqrt[5]{3^3 \cdot 2^4}$

$\sqrt[7]{2^{12} \cdot 5^5} = 2 \cdot \sqrt[7]{2^5 \cdot 5^5}$

$\sqrt{3^5 \cdot 7^3} = 3^2 \cdot 7 \cdot \sqrt{3 \cdot 7} = 63 \cdot \sqrt{21}$

$\sqrt{4^3 \cdot 3^3} = \sqrt{{(2^2)}^{3} \cdot 3^3} = \sqrt{2^6 \cdot 3^3} = 2^3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} $

$\sqrt{500} = \sqrt{5^3 \cdot 2^2} = 5 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 10 \cdot \sqrt{5}$

- Introducir factores en la raíz. 
Es el proceso inverso de lo que acabamos de hacer. En este caso, para introducir un factor en la raíz, va a haber que elevarlo al índice $n$. Es decir:
$$ y \cdot \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y^n \cdot x}$$ Ejemplos:
$2 \cdot \sqrt[5]{3} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3}$

$2^3 \cdot \sqrt[7]{3} = \sqrt[7]{{(2^3)}^{7} \cdot 3} = \sqrt[7]{2^{21} \cdot 3}$

$5^2 \cdot \sqrt{75} = \sqrt{{(5^2)}^{2} \cdot (5^2 \cdot 3)} = \sqrt{5^4 \cdot 5^2 \cdot 3} = \sqrt{5^6 \cdot 3}$



6. Raíz de una raíz
Este es otro apartado fácil si lo resolvemos con potencias:
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m]{x^{\frac{1}{n}}} = {(x^{\frac{1}{n}})}^{\frac{1}{m}} = x^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = x^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$

Por lo tanto, podemos poner como fórmula general:
$$\boxed{\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}}$$

Veamos algunos ejemplos:
$\sqrt{\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2}$

$\sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[6]{2}$

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{6}} = \sqrt[15]{6}$

$\sqrt{\sqrt[34]{93}} = \sqrt[68]{93}$

Sin embargo, esto se complica un poco si tenemos números por dentro. Recordamos que sólo se pueden introducir números en las raíces si están multiplicando y/o dividiendo. Si no encontramos, por ejemplo, $(a + b) \cdot \sqrt[n]{x} \neq \sqrt[n]{(a^n + b^n) \cdot x }$. En tal caso sería:
$$\boxed{(a+b) \cdot \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{{(a+b)}^{n} \cdot x}}$$
Y si $n$ es mayor que tres, habría que desarrollar más la expresión (mediante el Binomio de Newton), algo que escapa los objetivos de este curso. Por lo tanto, iremos a ejemplos más sencillos.
$$\boxed{\sqrt[m]{y \sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x \cdot y^n}}$$
Veamos muestras de esto:

$\sqrt{5 \sqrt{2}} = \sqrt[4]{2 \cdot 5^2} = \sqrt[4]{50}$

$\sqrt[3]{ 3 \sqrt[4]{2}} = \sqrt[12]{3^4 \cdot 2}$

$\sqrt{4 \sqrt{12}} = \sqrt[4]{4^2 \cdot (2^2 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2^2 \cdot 3} = \sqrt[4]{2^6 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt[4]{2^2 \cdot 3}$


7. Racionalizar. El objetivo es quitar la raíz del denominador.
a) Cuando tenemos una raíz cuadrada en el denominador. Es decir, que lo que tenemos es $\frac{x}{\sqrt{y}}$.Como lo que yo quiero es que la raíz se vaya del denominador, tengo que hacer un truco: multiplicar arriba y abajo por lo mismo

$$ y = y \cdot 1 = y \cdot \frac{x}{x} = \frac{y \cdot x}{x}$$

De esta forma, sigue siendo igual, se mantiene el equilibrio. Lo mismo ocurre con las raíces:
$$\frac{x}{\sqrt{y}} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{(\sqrt{y})^2} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} = \frac{x \cdot \sqrt{y}}{y}$$

Por lo tanto, podemos generalizar y poner:
$$\boxed{\frac{x}{\sqrt{y}} =  \frac{x \cdot \sqrt{y}}{y}}$$
Veamos algunos ejemplos:

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3 \cdot \sqrt{7}}{7}$

$\frac{28}{\sqrt{14}} = \frac{28 \cdot \sqrt{14}}{14} = 2 \cdot \sqrt{14}$

$\frac{a + 5}{\sqrt{2}} = \frac{(a+5) \cdot \sqrt{2}}{2}$

b) Cuando tenemos una raíz de orden $n$ en el denominador. Es el caso de $\frac{x}{\sqrt[n]{y}}$.
Como queremos que se vaya la raíz del denominador, tenemos que multiplicarla por sí misma tantas veces como sea necesario para que la $y$ se quede sola; es decir, para tengamos en el denominador ${(\sqrt[n]{y})}^{y} = y$
$$\boxed{\frac{x}{\sqrt[n]{y^a}} = \frac{x \cdot \sqrt[n]{y^{n-a}}}{y}}$$
Veamos algunos ejemplos de esto:
$\frac{5}{\sqrt[3]{2}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{(\sqrt[3]{2})^3} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2^2}}{2}$

$\frac{6}{\sqrt[4]{7^3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[4]{7}}{\sqrt[4]{7^3} \cdot \sqrt[4]{7}} = \frac{6 \cdot \sqrt[4]{7}}{(\sqrt[4]{7^4})} = \frac{6 \cdot \sqrt[4]{7}}{7}$

$\frac{2}{\sqrt[3]{16}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2^4}} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2^2}}{2}$

$\frac{1}{2 \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}$

$\frac{7}{\sqrt[3]{81}} = \frac{7}{3 \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{7 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{3 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}} = \frac{7 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{3 \cdot (\sqrt[3]{3})^3} = \frac{7 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{9}$

Como se ve en estos dos últimos ejemplos, el que haya algún número en el denominador multiplicando a la raíz, no afecta para nada al procedimiento.  

c) Binomios. Son dos expresiones juntas, como en: $\frac{x}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$. 
En este caso se multiplica por el conjugado, que es el propio binomio con la 2ª parte cambiada de signo: binomio de x + y = x –y; el de $\sqrt{2} + \sqrt[3]{4}$ es $\sqrt{2} - \sqrt[3]{4}$. Con esto conseguimos que cada raíz se quede elevada al cuadrado* y se vayan las raíces. Es decir:
$$\frac{x}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{x \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{x \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a^2 - b^2}$$
Poniendo la fórmula general de esto:
$$\boxed{\frac{x}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{x \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a^2-b^2}}$$
Veamos algunos ejemplos (y recuerda que los paréntesis son muy importantes):

$\frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3 - 5} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{-2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{-1} = -1 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

$\frac{5}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})}{(\sqrt{8} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})} = \frac{2 \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})}{(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2 \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{5})}{8 - 5} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3}$

* Observa que hay que multiplicar por el conjugado y no por el mismo binomio. De esta forma, tenemos suma por diferencia, y no una expresión elevada al cuadrado. Tenemos $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 + ab - ab + b^2 = a^2 + b^2$, de forma que todas las raíces se van. Sin embargo, si multiplicásemos por el mismo binomio, nos quedaría una raíz: $(a+b) \cdot (a+b) = (a+b)^2 = a^2 +ab + b^2$, donde $a^2$ y $b^2$, al estar elevados al cuadrado, dejan de ser raíces y se convierten en números normales, pero $ab$ es una raíz, como $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$.

Examen PAEG Química 2015 - Opción B

Examen de PAEG o Selectividad de Castilla-La Mancha de Química resuelto (opción B). Pertenece al curso 2014/2015:

Para cualquier gas, se cumple que 
$$PV= nRT \to P = \frac{n}{V} \cdot RT$$
Pero la concentración, $[x]$, de una sustancia $x$ (molaridad) se expresa como el número de moles, $n$ entre el volumen total, $V_T$, que el enunciado nos dice que es de 2L. Por lo tanto:

$$P_x = [x] \cdot RT$$

Por ello, en cada uno de los diferentes compuestos, tenemos:

$P(SO_2) = [SO_2] \cdot RT = \frac{0,7}{2} \cdot 0,082 \cdot (700 + 293) \to P(SO_2) = 27,93 (atm)$

$P(O_2) = [O_2] \cdot RT = \frac{0,48}{2} \cdot 0,082 \cdot 973 \to P(O_2) = 19,15 (atm)$

$P(SO_3) = [SO_3] \cdot RT = \frac{0,9}{2} \cdot 0,082 \cdot 973 \to P(SO_3) = 35,90 (atm)$

$P_T = P(SO_2) + P(O_2) + P(SO_3) = 27,93 + 19,15 + 35,90 \to \boxed{P_T = 82,93 (atm)} $

b) Calculemos ahora $K_p$ y $K_c$, para lo cual hemos de tener en cuenta los elementos que intervienen en la reacción y sus coeficientes estequiométricos:

$$K_p = \frac{{P(SO_3)}^{2}}{{P(SO_2)}^{2} \cdot P(O_2)} = \frac{35,90^2}{27,93^2 \cdot 19,15} \to K_p = 0,086$$

Al mismo tiempo, siempre se cumple en el equilibrio la ecuación

$$K_p = K_c \cdot {(RT)}^{\Delta n}$$

Y en este caso, fijándonos en los coeficientes estequiométricos de los elementos gaseosos (todos), tenemos que $\Delta n = 2 – (2 + 1) = - 1$. Por lo tanto:

$$K_p = K_c \cdot {(RT)}^{-1} = \frac{K_c}{RT} \to K_c = K_p \cdot RT = 0,086 \cdot 0,082 \cdot 973$$

Y de aquí obtenemos que

$$\boxed{K_c = 6,86}$$

c) Si el volumen se reduce a la mitad, tenemos que $V_T’ = 1 L$. Por lo tanto, las concentraciones son el doble. Igualmente, podemos calcularlo manualmente:

$[SO_2] = \frac{0,7}{1} = 0,7 (M)$

$[O_2] = \frac{0,48}{1} = 0,48 (M)$

$[SO_3] = \frac{0,9}{1} = 0,9 (M)$

Y ahora calculamos el cociente de la reacción

$$Q = \frac{{[SO_3]}^{2}}{{[SO_2]}^{2} \cdot [O_2]} = \frac{0,9^2}{0,48 \cdot 0,7^2}$$

$$\boxed{Q = 3,44}$$

Y como tenemos que $3,44 < 6,86 \to Q < K_c$, entonces el equilibrio se desplaza hacia la derecha.

Esto también se puede razonar según el Principio de Le Châtelier: Si disminuye el volumen, aumenta la concentración y, entonces, el sistema se desplaza hacia donde haya menor número de moles; esto es, hacia la derecha.

Lo primero de todo es poner la fórmula de la disolución:

$$ HNO_2 + H_2O \Leftrightarrow {NO}_{2}^{-} + H_3O^+ $$

Y ahora calcularemos la concentración inicial de ácido nitroso. Para ello, debemos saber cuál es el número de moles introducidos.

$n(HNO_2) = \frac{0,94}{1+ 14 + 2 \cdot 16} \to n(HNO_2) = 0,02 (mol)$

Calculamos ahora la concentración inicial:

$[HNO_2]_0 = \frac{0,02}{0,2} = 0,1 (M)$

a) Obtengamos ahora el grado de ionización, sabiendo:

	HNO2	NO2-	H3O+
Inicial (M)	0,1	0	0
Equilibrio (M)	0,1 – x	x	x

Y, al mismo tiempo, tenemos:

$$K_a = \frac{[NO_2^-] \cdot [H_3O^+]}{[HNO_2]} = \frac{x^2}{0,1 - x} \to x^2 + k_a \cdot x – 0,1 \cdot Ka \to x = 6,83 \cdot 10^{-3} (M)$$

Sin embargo, lo que nos piden es el grado de ionización. Sabemos que $x = c_0 \alpha$, donde $c_0 = [HNO_2]_0$; es decir, la concentración inicial de ácido nitroso. Así:

$$x = c_o \alpha \to \alpha = \frac{x}{c_0} = \frac{6,83 \cdot 10^{-3}}{0,1}$$

Y de aquí:

$$\boxed{\alpha(\%) = 6,83\%}$$

b) Para el cálculo del pH debemos tener en cuenta que

$$pH = -log[H_3O^+] = -log(x)$$

Por ello

$$\boxed{pH = 2,17}$$

Al mismo tiempo, la relación entre el pH y el pOH es $pH +pOH = 14 \to pOH =14 - pH$. Entonces:

$$\boxed{pOH = 11,83}$$

c) En este caso el método de trabajo es diferente puesto que el ácido clorhídrico es un ácido fuerte. Por ello, la concentración de hidronios, [$H_3O^+$], debe ser la misma que la concentración inicial de ácido clorhídrico:

$$[HCl]_0 = [H_3O^+]$$

Y si queremos que el pH sea el mismo, la concentración de hidronios debe ser la misma que en el apartado anterior. Por lo tanto:

$$[H_3O^+] = [HCl]_0 = 6,83 \cdot 10^{-3} (M)$$

Y como la concentración molar se define como el número de moles entre el volumen:

$$[HCl]_0 = \frac{n_0(HCl)}{V_T} \to n_0(HCl) = [HCl]_0 \cdot V_T = 6,83 \cdot 10^{-3} \cdot 0,25$$

Y de aquí:

$$\boxed{n_0(HCl) = 1,72 \cdot 10^{-3} (mol)}$$

a) Molécula de $CO_2$

El diagrama de Lewis de esta molécula es el siguiente:

Como podemos ver, hay dos direcciones diferentes, por lo que el carbono tiene una hibridación sp. Por ello, la geometría es lineal, con un momento dipolar nulo: $\vec{\delta_T} = 0$. Es, por lo tanto, una molécula apolar.

                       

b) Molécula de $CH_4$

El diagrama de Lewis de esta molécula es el siguiente:

Como podemos ver, hay cuatro direcciones diferentes, por lo que el carbono tiene una hibridación sp³. Además, no tiene ningún par libre (AB₄). Esto significa que su geometría es la de un tetraedro, con un momento lineal total nulo: $\vec{\delta_T} = 0$. Por lo tanto, es una molécula apolar.

c) Molécula de $BeCl_2$

El diagrama de Lewis de esta molécula es el siguiente:

Como podemos ver, hay dos direcciones diferentes, por lo que el berilio tiene una hibridación sp. Por ello, la geometría es lineal, con un momento dipolar nulo: $\vec{\delta_T} = 0$. Es, por lo tanto, una molécula apolar.

d) Molécula de $NH_3$

El diagrama de Lewis de esta molécula es el siguiente:

Como podemos ver, hay cuatro direcciones diferentes, por lo que el nitrógeno tiene una hibridación sp³. Sin embargo, hay un par libre (AB₃P), por lo que su geometría corresponde a la de una pirámide triagonal. En este caso el momento dipolar total no es nulo: $\vec{\delta_T \neq 0}$. Por lo tanto, es una molécula polar.

En la notación de una pila se coloca primero el ánodo y, después, el cátodo. Por lo tanto, esto ya nos está diciendo qué es cada uno. Para tenerlo aún más claro: el cátodo es el que se reduce (gana electrones) y el ánodo es el que se oxida (pierde electrones). Por lo tanto, bastaría con fijarse en cuál de las dos reacciones hay una reducción y en cuál una oxidación.

a) Según lo anterior, tenemos que:
- Ánodo (oxidación): $Fe \to Fe^{3+} + 3 e^-$. Si este se oxida (pierde electrones), entonces alguien captará esos electrones; es decir, alguien se reducirá. Por lo tanto, este es el agente reductor, puesto que es capaz de reducir a otros compuestos.

- Cátodo (redución): $Ag^+ + 1 e^- = Ag$. Si este se reduce (gana electrones), significa que se los roba a alguien. Es decir, hay otro compuesto que se oxida. Por lo tanto, este es el agente oxidante.

b) En una pila galvánica se va a cumplir siempre que el cátodo es aquel que tiene un potencial de reducción mayor. Y si en esta reacción es la plata el cátodo, entonces podemos concluir que el electrodo con mayor potencial de reducción es el de la plata.

Si es un alcalinotérreo, significa que su configuración va a ser $[…] ns^2$. Es decir, sólo va a tener dos electrones de valencia.

Como está en el cuarto período, tendremos que el número cuántico principal, $n$, es cuatro. Por otra parte, como el orbital que se llena es el $s$, el número secundario, $l$, va a ser cero. Esto nos dice que el número cuántico magnético, $m$, también. Podemos razonarlo como que $m$ va desde $-l$ hasta $l$, y si $l = 0$, entonces $m$ va a ser, sí o sí, cero. El último número cuántico que nos queda es el spin, que puede ser $+\frac{1}{2}$ o $-\frac{1}{2}$. Por ello, podemos concluir que esas dos (únicas, detalle que se ahorra el enunciado para no dar pistas) combinaciones son:

Combinación 1: (4, 0, 0,+ ½)

Combinación 2: (4, 0, 0, - ½)

Al mismo tiempo, es fácil, sabiéndose la tabla periódica, determinar el elemento que es, puesto que nos dice que es un alcalinotérreo (grupo II) y del período 4:

Es decir, el elemento que tenemos es el calcio.