Órbitas celestes

Nota: Esta entrada puede leerse dependiendo del nivel en física del lector.

- Rojo: Primer ciclo de Física
- Azul: Bachillerato
- Negro: Público general


- INTRODUCCIÓN
Las cónicas son curvas que surgen de dividiendo un cono con un plano. A este cono, estudiado en el siglo 3 a.C. por el matemático griego Apolonio, se le denomina "cono de Apolonio". Las secciones resultantes son la conocida circunferencia (muy valorada en la Antigüedad al ser relacionada con la perfección), la elipse, la parábola y la hipérbola.

 

Izquierda: cortes de un cono con un plano con diferentes inclinaciones || Derecha: representación de las diferentes cónicas en un plano

Circunferencia: Rojo. Elipse: verde a la izquierda, amarillo a la derecha. Parábola: morado a la izquierda, verde a la derecha. Hipérbola: Naranja a la izquierda, azul a la derecha. 

[Fuente 1] - [Fuente 2]

Por otra parte, Aristóteles pensaba que los materiales en el mundo sublunar, que incluía todo lo que hay ahora mismo a tu alrededor, estaban formados por cuatro elementos: Aire, Tierra, Fuego y Agua. Cada uno tenía unas tendencias concretas (por ejemplo, la tendencia de la Tierra era la de estar en su lugar natural de reposo: el centro del planeta) y no existían en nuestro mundo de forma absolutamente pura.

Sin embargo, los cuerpos celestes eran otro mundo. Estaban formados por la Quintaesencia, cuya tendencia natural era la de moverse en círculos. 

A medida que las observaciones astronómicas fueron haciéndose más precisas, y que más mentes se mostraban inconformes a la explicación "la luna gira porque es inherente a su naturaleza", se fueron desarrollando nuevas teorías.

Así, llegamos a J. Kepler quien, en la primera de sus tres leyes, postula que los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, el cual se encuentra en uno de sus focos. Hoy día conocemos por el nombre de "afelio" al punto de dichas órbitas en el cual el planeta se encuentra más lejos del Sol, y "perihelio" al punto en el que se encuentran más cerca. Más sobre esto aquí.

El movimiento de la Tierra alrededor del Sol es con una elipse, estando en Sol en uno de los focos
 [Fuente]

Esto fue posteriormente avalado por Newton. De hecho, hay una famosa anécdota según la cual el científico Halley acudió a su despacho y le preguntó "¿qué trayectoria describirían los cuerpos si sobre ellos actúa una fuerza que decrece con el cuadrado de la distancia [hoy en día conocida como gravedad]?". "Elipses" - contestó Isaac Newton de forma automática. Kepler se quedó perplejo ante la respuesta: ¿Cómo lo sabes? - preguntó. "Porque lo he calculado" fue la respuesta de Newton.

En presencia únicamente de una fuerza como el peso (conservativa y central), podemos decir que la energía que tiene un cuerpo es exclusivamente energía mecánica. Ésta se compone, a su vez, de energía cinética (debida al movimiento, $E_k$), y energía potencial (debida a la presencia de un campo gravitatorio, $U(r)$):

$$\boxed{E = E_m = E_k + U(r) =  \frac{-GMm}{r} + \frac{1}{2}mv^2}$$

donde $G $ es la constante de gravitación universal, $M$ es la masa del cuerpo al que orbita la masa pequeña $m$ (es decir, $M$ sería la del Sol y $m$ la de un cometa o un planeta), $r$ es la distancia entre los dos cuerpos y $v$ la velocidad de la masa pequeña. 

Al mismo tiempo, la velocidad (recordemos que siempre es tangencial a la trayectoria), la podemos descomponer en velocidad radial, $v_r$ y velocidad polar, $v_{\theta}$: 

$$\vec{v} = \vec{v_r} + \vec{v_{\theta}} = v_r \hat{u_r} + v_{\theta} \hat{\theta}$$

Descomposición de la velocidad en velocidad radial y velocidad polar

Como podemos observar en el dibujo, si pasamos los vectores unitarios de coordenadas polares a cartesianas:

Representación de los vectores unitarios de las coordenadas polares

$\hat{u_r}=\cos(\theta) \hat{u_x} + \sin(\theta) \hat{u_y}$          (1)

$\hat{u_\theta} = - \sin(\theta) \hat{u_x} + \cos(\theta) \hat{u_y}$      (2)

Al mismo tiempo, sabemos, por su definición, que:

$$\vec{v}= \frac{d \vec{r}}{dt} = \frac{d}{d t} (r \hat{u_r}) + r \frac{d\hat{u_r}}{dt}$$ 

Podemos obtener la expresión de $\frac{d \hat{u_r}}{d t}$ derivando (1) con respecto al tiempo:

$$\frac{d \hat{u_r}}{d t} = (-\sin(\theta) \hat{u_x} + \cos(\theta) \hat{u_y}) \frac{d \theta}{dt} = \hat{u_{\theta}} \frac{d \theta}{d t}$$

Así, podemos concluir que:

$$\vec{v} = \frac{d r}{d t} \hat{u_r} + r \cdot \frac{d \theta}{d t} \hat{u_{\theta}}$$

Por lo tanto, en la ecuación de la energía podemos sustituir esto que acabamos de obtener en el módulo de la velocidad de la energía cinética, quedando:

$$\boxed{E = [ \frac{1}{2}m (\frac{d r}{d t})^2 + \frac{1}{2}m (\frac{d \theta}{d t} r)^2 ]+ U(r)}$$

Al mismo tiempo, sabemos que el momento angular es:

$$\vec{L}=m \vec{r} \times \vec{v} = m \vec{r} \times (\vec{v_{\theta}} +\vec{v_r}) = m(\vec{r} \times \vec{v_{\theta}} ) = m \vec{r} \times (r \frac{d \theta}{d t} \hat{u_{\theta}} )$$

* En el producto vectorial hemos eliminado el factor $\vec{r} \times \vec{v_r}$ porque son vectores paralelos, entonces su producto vectorial es nulo.

La velocidad polar $\vec{v_{\theta}}$ y el radiovector $\vec{r}$ forman 90º, por lo que podemos expresar el módulo del momento angular como:

$$L=mr^2  \frac{d \theta}{d t} = mr^2 \omega$$    (3)

Que es constante (la fuerza que estamos considerando es central).

Despejando de esta última expresión, (3), obtenemos:

$$\frac{d \theta}{d t} = \frac{L}{mr^2}$$

Nuevamente, podemos introducit este resultado en la expresión de la energía:

$$\boxed{E=\frac{1}{2}m(\frac{d r}{d t})^2 + \frac{L^2}{2mr^2} + U(r) }$$

Al factor $ \frac{L^2}{2mr^2} $ se le denomina potencial centrífugo, debido a que la fuerza que de él deriva es repulsiva y tiene dirección radial:

$$ \vec F_c = - \vec \nabla U_{centrifugo} =- \frac{\partial (L^2/2mr^2)}{\partial r} = \frac{L^2}{mr^3}$$

Al conjunto de potenciales (centrífugo y gravitatorio) se le denomina potencial efectivo:

$$\boxed{ E= \frac{1}{2}m(\frac{d r }{d t})^2 + U_{efectivo} }$$

Podemos representar este potencial efectivo gráficamente, obteniendo:

Grático de la energía potencial efectiva.
Verde: energía centrífuga. Azul: energía potencial gravitatoria

1. ¿Qué tipo de órbita se describe en cada caso?
Bien conocido es que cuanto mayor sea la velocidad con la que disparemos un cañón - obviando el hecho de que el ángulo adecuado es de $45$º-, más lejos llegará la bala. Si cada vez va llegando más lejos, llegará el momento en el que la velocidad sea tan elevada que podrá entrar en órbita con la Tierra. No caerá con un movimiento parabólico, como el de un balón de fútbol en un lanzamiento de falta, sino que ya no chocará contra el suelo. Se debe a que, aunque hay una fuerza que tira de dicho cuerpo hacia abajo (la gravedad), tiene velocidad tangencial. Por eso no cae verticalmente hacia la Tierra. Más información [Ciencia de Sofá]
A dicha velocidad se le denomina velocidad orbital, y le permite orbitar circularmente alrededor de la una masa $M$, como podría ser la de la Tierra.

La velocidad de escape terrestre, de aproximadamente 40.000 km/h, es la necesaria para que un cuerpo escape de la atracción gravitatoria de nuestro planeta

Así, podemos considerar diferentes tipos de órbita: circular, elíptica, parabólica e hiperbólica. 

a) Órbita circular. En esta órbita, la velocidad es constante:
$$v_{orbital} = \sqrt{ \frac{GM}{r} }$$

Además, en cada punto, la velocidad es perpendicular al radiovector. 

No sólo la velocidad es constante, sino que también lo es el radio

$$r=\frac{v^2}{GM}$$

Esto implica que la velocidad radia es nula y, por lo tanto, la energía es igual únicamente al potencial efectivo:

$$E= U_{efectivo} = \frac{L^2}{2mr^2} + U(r)$$

Esto se desarrollará en el siguiente apartado.

Como el cuerpo sigue indefinidamente orbitando el cuerpo, decimos que está ligado; esto es, con la energía que tiene, no puede escapar de la atracción gravitatoria de la masa $M$. Por ello, su energía total es negativa, y corta a la gráfica del potencial efectivo en un sólo punto: $r_0$, del cual no puede salir. En dicho punto, además, la energía potencial efectiva es mínima (con las implicaciones con respecto a las fuerzas que veremos en el apartado 2).

En un órbita circular, la energía total es negativa y corta con la energía efectiva en un solo punto: el radio de dicha órbita

Tratándolo con potenciales efectivos, podemos comprobar que obtenemos un único valor para el cual la velocidad radial es cero: $r_0$, debido a que éste, como se ha dicho, en un movimiento circular, es constante:

$$E= \frac{1}{2} \frac{-GMm}{r}$$

Despejando el radio:

$$r=\frac{-GMm}{2E}$$
Donde se ve que, efectivamente, $r$ es constante para un nivel muy concreto de energía, y que ésta ha de ser negativa porque el radio es positivo.

Puedes leer algo más de órbitas circulares en esta entrada.

b) Órbita elíptica:
En esta órbita, el cuerpo no puede dejar de orbitar a la masa $M$, como ocurría en el caso de la órbita circular. Se dice, por lo tanto, que ambas son órbitas cerrdas: con su energía no pueden escapar del campo gravitatorio; es decir, no pueden ir hasta el infinito. Por ello, su energía total es negativa.
Sin embargo, hay dos puntos en los cuales la velocidad radial es cero (es decir, en estos dos puntos, la velocidad total es únicamente velocidad polar, sin ninguna componente radial). Estos puntos, uno mayor que el otro, corresponden, respectivamente, con el afelio y el perihelio en el caso de cuerpos orbitando alrededor del Sol.

Es decir, cuando $v_r=0$:
$$E= \frac{L^2}{2mr^2} + \frac{-GMm}{r} $$
Despejando el radio:

$$r=\frac{-2GMm^2 +- \sqrt{4G^2M^2m^4 + 8mEL^2} }{4mE}$$

Como se ve, hay dos soluciones. Una, considerando la raíz positiva, es $r_1$, el equivalente al perihelio. La otra, $r_2$, mayor que $r_1$, correspondería con el afelio.

En una órbita elíptica, la energía total es negativa y corta la energía efectiva en dos puntos. Se encuentra en un pozo de potencial: oscila continuamente desde $r_1$ a $r_2$

Igualmente, podemos observar que, para un nivel dado de energía, puede haber diferentes valores para el momento angular $L$ que determinan cómo es el radio. Dicho de otro modo: para un mismo nivel de energía, puede haber diferentes excentricidades de órbitas, que vienen determinadas por el valor de $L$. Esto se cumple para todos los tipos de órbitas menos en la circular, pues en ella $L$ toma un único valor.

Imagen que muestra cómo son las órbitas dependiendo de la excentricridad. Si ésta es 0, tenemos una circunferencia. [Fuente]

c) Órbita parabólica
En esta, $E=0$. Corresponde a una órbita abierta en la que el cuerpo, en $r_0$, tiene un valor para la velocidad muy característico: la velocidad de escape. Por lo tanto, un cuerpo que describa una órbita parabólica puede llegar al infinito (escapar de la atracción gravitatoria), pero en el infinito tiene una velocidad nula. 

Como en los demás casos, el punto en el que dicha energía corta con el potencial efectivo corresponde al punto en el que su velocidad radial es cero:

$$E=\frac{L^2}{2mr^2} + \frac{-GMm}{r} = 0$$
Por lo que:
$$\frac{L^2}{2mr^2}= \frac{GMm}{r}$$
De donde:
$$r_{min}= \frac{L^2}{2GMm^2}$$

En una órbita parabólica la energía total es cero, y corta con la energía potencial efectiva en un solo punto: el radio mínimo de acercamiento al centro de fuerzas. Sin embargo, puede estar tan lejos del mismo como quiera ($r_{max} \to \infty$)

Es decir, este es el radio mínimo, $r_{min}$, o la máxima distancia que puede el cuerpo acercarse al centro de fuerzas (a la masa $M$).

d) Órbita Hiperbólica
Se caracteriza porque $E>0$. Es una órbita abierta en la que el cuerpo, en el infinito, tiene velocidad no nula. Es decir, puede escapar de la atracción gravitatoria y aún le sobra energía como para tener velocidad.

Representación de una órbita hiperbólica

Al igual que la órbita parabólica, sólo corta con el potencial efectivo en un punto, que corresponde, igualmente, a la máxima distancia que se puede acercar al centro de fuerzas:
$$r=\frac{-2GMm^2 +- \sqrt{4G^2M^2m^4 + 8mEL^2} }{4mE}$$

Como $E>0$ y $r>0$, debe cogerse únicamente la raíz positiva:

$$ r_{min} = \frac{-2GMm^2 + \sqrt{4G^2M^2m^4 + 8mEL^2}}{4mE}$$

En una órbita hiperbólica la energía es mayor que cero y corta a la energía efectiva en un sólo punto. Es decir, la masa $m$ se acerca desde el infinito a la masa $M$ hasta que se encuentra, en $r_{min}$, una barrera de potencial que le obliga a alejarse nuevamente

2. ¿Cuál es el carácter de la fuerza en cada tramo?

Observación: Tengamos en cuenta la fuerza neta:

$$ \vec{F_N} =- \frac{\partial U_{efectivo}}{\partial r} =\frac{- \partial U_{centrifugo}}{\partial r} + \frac{- \partial U(r)}{\partial r} = \vec{F}_{centrifuga} + \vec{F_g} = - \vec{F_{radial}} + \vec{F_g} $$

2.1) Desde 0 hasta $r_0$:

a) Sobre el carácter de la fuerza neta: 

Podemos ver que $U_{efectivo}$ disminuye, entonces: 
$$\frac{d U_{efectivo}}{d r} < 0 \to F_N> 0$$ 

Es decir, en este tramo la fuerza es repulsiva. 

Como 
$$F_N > 0 \to \vec {F}_{centrigufa} + \vec{F_g} > 0$$
Como el potencial gravitatorio aumenta, $\vec F_g <0$, pero el potencial centrífugo aumenta, por lo que  $\vec F_{centrifuga}>0$, entonces:
$$ {F_{centrifuga}} - F_g > 0 \to F_{centrifuga}>F_g$$

Es decir, en este tramo, la fuerza que lo empuja a seguir avanzando (en este caso, hacia $r_0$) es mayor que la que lo empuja hacia el centro de fuerzas. Por lo tanto, a corto alcance, predomina la fuerza centrífuga sobre la gravitatoria.

2.2) En $r_0$:

Tenemos que $\frac{d U(r)}{d r} = 0 \to F_N= 0$. Es decir, la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es cero; es una posición de equilibrio. Como además corresponde con un mínimo ($\frac{d^2U(r)}{d r^2} <0$), es un punto de equilibrio estable (es decir, se desplace un poco a la derecha o a la izquierda, la fuerza tiende a que vuelva a dicha posición de $r_0$).

Como
 $$F_N = 0 \to \vec{F_g} + \vec{F_{centrifuga}} = 0 \to \vec {F_g} = - \vec F_{centrifuga} \to \vec F_g = \vec F_{radial}$$

¿Y cuánto vale, en este punto, la fuerza radial? Este punto de equilibrio, $r_0$, corresponde, para los cuerpos que tienen la energía mecánica adecuada, el radio de la órbita circular. Sin embargo, todos los cuerpos pasan también por este punto, aunque tengan una trayectoria muy diferente de la circular. Es decir, un cuerpo como un cometa que describe una órbita hiperbólica, pasa por el mismo punto que un cuerpo que orbita de manera circualr; las trayectorias coinciden en dicho punto. Y es bien sabido que en un movimiento circular, tenemos que $\vec F_g = \vec F_{centripeta}$, con lo que nos encontramos que, para cualquier cuerpo, independientemente de su trayectoria:

$$\vec F_g = \vec F_{c} \to F_g =F_c \to \frac{GMm}{r^2}=m \frac{v^2}{r}$$

De esta igualdad pueden obtenerse muchos datos para el movimiento circular, como la velocidad orbital o el período del movimiento, como ya vimos en esta entrada anterior.

$$v_{orbital}= \sqrt{ \frac{GM}{r} }$$
O también: $$T_{orbital} = 2 \pi \sqrt{ \frac{r^3}{GM} }$$

- Si se trata de un movimiento circular, tenemos que en $r_0$ la velocidad radial ($v_r= \frac{1}{2}m (\frac{d r}{d t})^2$) es 0 (la velocidad total en un movimiento circular es perpendicular al radiovector, de forma que no hay componente radial). Por ello:

$$E = 0 + \frac{L^2}{2mr^2} + U(r)$$

Pero, como es circular, $L=rmv$, y $v=v_{orbital}$: corresponde con la velocidad orbital, escrita líneas atrás. Por ello:

$$E= \frac{r^2m^2 (GM/r)}{2mr^2} + \frac{-GMm}{r} = \frac{GMm}{2r} + \frac{-GMm}{r}$$

Así:
$$E = \frac{-GMm}{2r} = \frac{1}{2} U(r)_{orbital}$$

Resultado ya conocido: la energía total de un cuerpo que orbita una masa $M$ en una órbita circular de radio $r$ es la mitad de la energía potencial total (observar que el que la energía total sea negativa quiere decir que el cuerpo está ligado, reslutado lógico ya que se trata de una órbita circular, en la que el cuerpo no consigue escapar de la atracción gravitaroria y sigue girando alrededor de la masa)

- Si el movimiento no fuera circular, la única peculiaridad habría sido que la energía cinética radial no es negativa. De hecho, en la gráfica coincide con la resta de la energía total y el potencial centrífugo que, como se ve a simple vista, en $r_0$ dista mucho de ser 0:

$$E= \frac{1}{2}m (\frac{d r}{d t})^2  +  \frac{r^2m^2 (GM/r)}{2mr^2} + \frac{-GMm}{r}  $$

En $r_0$ también se cumple que la fuerza centrípeta es igual a la fuerza de la gravedad, y la velocidad polar coincide con la velocidad de un movimiento circular: $v_{\theta}=v_{orbital}$, de forma que:


$$E=\frac{1}{2}m ( \frac{d r}{d t})^2 \frac{-GMm}{2r} = \frac{1}{2}m ( \frac{d r}{d t})^2 + \frac{1}{2} U(r)_{orbital}$$

2.3) Desde $r_0$ en adelante:

La energía potencial aumenta, por lo que la fuerza es atractiva (es decir, es negativa).

$$F_N < 0 \to \vec F_g + \vec F_{centrifuga} < 0 \to F_{centrifuga} -F_g< 0 \to F_{centrifuga} > F_g $$

Es decir, la fuerza radial, perpendicular a la trayectoria, es mayor que la que lo empuja hacia la masa $M$. O dicho de otra forma: en las grandes distancias, es el potencial centrífugo el que toma protagonismo sobre el gravitatorio.

2.4) Conclusión

La fuerza que deriva de un potencial se expresa de la forma: $\vec{F} = - \vec \nabla U$, lo que significa que la naturaleza tiende a que el cuerpo esté en un estado de mínima energía. Por lo tanto, si avanzamos por un lado por el que la energía aumenta (desde $r_0$ hacia el origen, o desde $r_0$ en adelante), la fuerza tiende a empujarlo hacia $r_0$, pues éste es el punto en el que tiene menor energía.

Carácter de la fuerza. En la naturaleza, ésta tiende a que el cuerpo se encuentre en su estado de mínima energía

3. Resumen
Los planetas pueden orbitar al Sol describiendo diferentes trayectorias. Según la I Ley de Kepler, los planetas lo hacen describiendo elipses. Sin embargo, son de tan baja excentricidad que en algunos casos, como el de la Tierra, podemos considerar que son circnuferencias.
En cualquier caso, estas dos trayectorias (circular y elíptica), se caracterizan porque los planetas siguen siempre girando alrededor del Sol; están "atados" a él. Por eso se dice que son órbitas cerradas.
Otros cuerpos sí pueden escapar de la atracción del Sol, y continuar su viaje por el espacio. Esto sucede cuando tienen la energía suficiente, y se les llama órbitas abiertas. Son las parábolas y las hipérbolas.

Como hemos dicho, todo depende de la energía que tenga el cuerpo. A continuación haremos un breve resumen en una tabla: