Experiencia Universidad

- ¿Cómo ha sido mi experiencia en la vida universitaria?

Antes que nada, una breve reseña a la PAU/PAEG o, también comúnmente conocida como Selectividad. Cuando estás en primero de bachillerato, comienzas a sentir la presión - generalmente, cortesía de profesores porque ellos se estresan incluso más que algunos alumnos - de que toda tu vida académica conduce a ese momento, EL momento. Entonces, a medida que se aproxima la selectividad, aumenta la concentración de cafeína en sangre, los sollozos y los papeles tirados por el suelo de la habitación.

Al fin y al cabo, por lo que te han contado, tu vida académica termina ahí. Y nada más lejos de la realidad. Se puede intentar muchas veces, se pueden reclamar notas, se puede pedir la misma carrera en otra universidad, etc. Además, el examen más difícil que encontré era igual que uno del instituto. La corrección, por si fuera poco, suele ser bastante generosa. Así que, nada que temer, simplemente a intentar hacer lo mejor que se pueda.

Sobre la universidad, el mundo de las luces y las sombras. Hablemos primero de ese lado oscuro. Oscuro, metafóricamente, y también literalmente, porque ha habido días que ni he visto el Sol (llegué a estar en la uni desde las 8.00 hasta las 20.00), tuve durante varios meses exámenes todas las semanas... Apenas si podías salir nada más que a tomarte algo. Yo no he visto eso de "en la universidad apenas hay exámenes" porque, de hecho, tuve más que en bachillerato. Lo peor son los exámenes de fin de semestre (enero y mayo), que son como una pequeña PAU. 

Aquí tienes que buscarte la vida. No te dan apuntes, ni un libro que seguir. De hecho, los que hay en la biblioteca son los mismos que usa el de 4º de carrera, así que tienes que tener mucho cuidado con lo que entra y lo que no (que será la mayor parte del libro). También debes espabilar, porque no va a haber nadie para recordarte lo que tienes que hacer ni meter presión ante un examen.

Por otra parte, hay mayor libertad intelectual, puedes profundizar en lo que te dé la gana y siempre habrá un profesor dispuesto a ayudarte, ya sea por tutorías, por correo electrónico o después de una clase (porque, sí, aún siendo 80 alumnos, puedes ir después de la clase a hablar con él o ella y nadie te dirá nada). Los profesores no son tan distantes como había oído antes de entrar por aquí. Aunque es cierto que muchos no se aprenderán nunca tu nombre - ni les importará -, en general, cuando ven esfuerzo e interés, intentan ayudar y apoyar a ese alumno (sí, puede aprenderse tu nombre e, incluso, puedes tener una buena relación con él... No sería la primera vez que veo a algún alumno tomando un café con un profesor en la cafetería). 

Bendita cafetería (consejo: si eres de la UAM, aunque una de las mejores comidas es la de Biología, los precios son mucho más caros que el la Facultad de Filosofía y Letras o en la propia Plaza Mayor de la universidad). En cuanto a los compañeros: es más fácil hacer amigos que cuando pasaste del colegio al instituto - sin duda - y la gente suele ser más afín a ti. Merece la pena.

Y otra cosa, en algunas carreras, puede que Patatabrava te salve la vida, así como modelos de examen de años anteriores.

- ¿Qué te vas a encontrar en Biología UAM? [Especificado para Biología UAM]

1. Matemáticas. No te creas lo que dicen de que las matemáticas en este grado son muy sencillas. Es más que recomendable cursar matemáticas en 2º de bachillerato. El 40% de mis compañeros no las cursó en segundo. Todos suspendieron la asignatura (y algunos que sí que la cursaron suspendieron también). Sin embargo, el examen de enero fue tan sencillo, que la mayoría aprobó la asignatura sin tener que ir a junio (que, en la UAM, es como el "septiembre" del instituto).

En dos meses das todo el curso de matemáticas de 2º (quitando la parte de geometría). Habrás de dar funciones (la típica, f(x), pero también multivariable f(x,y), que es mucho más complicada); derivadas (primeras, enésimas, así como muchos de los teoremas de las mismas. ¿Te suena Lagrange?); integrales (aquí, en mi caso, me aparecieron unas más sencillas que las de 2º, pero lo tienes que dar todo en 3 ó 4 días, así que mejor llévalas bien); matrices; progresiones y series (se da en 3º ESO también); ecuaciones diferenciales (lo que se da de ellas en sí mismas es sencillo; los problemas de aplicación, no tanto) y lo antes dicho: funciones multivariable (dibujar algunas sencillas, optimización, gradiente y derivadas direccionales...)

Imagen real de la hoja de ejercicios. Que no cunda el pánico, era de sólo unir y era fácil con lo que se da en clase ;)

Es mucho temario en muy poco tiempo. Casi todos coincidimos en que sería mucho mejor que esta fuera una asignatura anual, para que se asienten mejor los conocimientos.

En la uam te van a dar varias hojas de ejercicios (una con cada tema), va a haber seminarios (el profesor viene a resolver problemas de esas hojas únicamente), y están las tutorías. ¡Ve a ellas, sin duda! Como dije, los profesores cambian mucho en las tutorías, aunque te dé miedo al principio (tienes que moverte tú solo por todos los pasillos de una facultad que apenas conoces, no tienes confianza con el profesor...). Pero, por experiencia propia, digo que es muy recomendable.

Personalmente, me ha gustado mucho cursar esta asignatura (con las pegas antes mencionadas, especialmente el tiempo semestral y no anual). Me ha servido para rellenar muchas lagunas (pues, principalmente por la selectividad, muchas veces los profesores te embuten ejercicios y teoría sin preocuparse de que la entiendas realmente) y he aprendido mucho. Se trata de intentar no dejarte amargar pensando qué hace esa asignatura en la carrera e intentar ver el lado bueno. Con un poco de esfuerzo, se sacan. Haz todos los ejercicios de las hojas y pregunta tus dudas. Lo más importante es llevarlo más o menos al día, sobre todo si no se te dan bien. Siguiendo esto, aprobarás.

2. Química. Como comprenderás, deberás haber dado química en segundo, más que nada porque es el mismo temario, pero dado en tres meses y modo bestia (es decir, ampliando muchísimo). No me gustaba nada la química en el bachillerato y el primer trimestre no ayudó para nada a cambiarlo. Sin embargo, Química Orgánica (2º semestre), cambió completamente mi perspectiva.

El temario va a ser estequiometría; disoluciones (ojo, que parece fácil, pero en el examen te meten la puñalada); termoquímica (se empieza a complicar, sobre todo si tu profesor insiste en darte todas las definiciones, como las del trabajo, con integrales); cinética química (casi todo nuevo); equilibrio (prepárate); ácidos y bases (dioses, el tema de tampones químicos y Henderson Hasselbach fue una absoluta tortura); rédox. Y el segundo semestre todo de química orgánica (sí, todo eso de antes era sólo para el primer semestre).

Química Orgánica, por lo que yo vi, está aún peor dada que Química Inorgánica, principalmente porque es más complicada, es muy extensa y porque es algo a lo que nunca nos hemos enfrentado. Los nucleófilos y la resonancia acabarán siendo tus amigos (o tus enemigos mortales, dependiendo :P). Cierto que es que yo la encontré muy descoordinada (en seminarios teníamos que hacer ejercicios de cosas que no habíamos dado en clase, por ejemplo). El porcentaje de aprobados en mi clase fue del 6.25%. A pesar de la dificultad, el estrés y la decepción (porque, sí, puede llegar a ser muy decepcionante la asignatura, a la que inicialmente veías una relación más estrecha con la Biología en sí misma), si tienes suerte y trabajas en la perspectiva, podrás darte cuenta, como me pasó a mí, que la Química Orgánica, como científico, es un regalo. Me había acostumbrado a decir que el ácido acético era débil, y que, por el contrario, la sosa es una base fuerte. Pero no fue hasta que di esto en Orgánica cuando entendí lo que significaba todo eso. La Química Orgánica puede no ayudarte a la media, ni a tener un curso más relajado, pero, si tienes suerte - y esta suerte depende, principalmente, de ti mismo - puede ayudarte a entender. 

Acostúmbrate a reacciones como esta SEAr

3. Física. Haré un esfuerzo para tratar esta asignatura de forma imparcial, porque ésta es, sin duda, la Ciencia que más me llena. 
La mayor parte de la gente no dio física en 2º de bachillerato (en realidad, algunos la dieron por última vez en la ESO). Sin embargo, debido al (injusto) sistema de exámenes y al sistema de evaluación, es la asignatura más fácil que aprobar. Y, además, el temario es un 90% 1º de bachillerato. 
a) Introducción: magnitudes, unidades de medida, análisis dimensional (no examinable)
b) Cinemática: MRU, MRUA, MCU, MCUA, momento lineal, conservación del momento lineal...
c) Dinámica: Fuerzas, momento de fuerza, momento angular, momento de inercia...
d) Trabajo y energía: Energía potencial (gravitatoria y elástica), energía cinética, conservación de la energía...
e) Leyes de escala: Fundamentalmente, cuerpos isométricos
f) Fluidos: experimento de Torricelli, principio de Arquímedes, principio de Bernouille, efecto Venturi...
g) Termodinámica: energía interna, I principio de la Termodinámica, gases ideales...
h) Campo eléctrico: Ley de Coulomb, potencial y energía potencial eléctricos, campo eléctrico, condensadores, circuitos eléctricos sencillos...

Los exámenes son tipo test y, tristemente, he de añadir que es demasiado fácil copiar.  No hay notas mínimas en exámenes, de forma que tienes que conseguir que la nota media del curso (exámenes + prácticas + participación en clase + ejercicios evaluables de clase) te salga, mínimo, un 5.00.

Te enseñarán, gracias al momento de inercia, por qué varía la velocidad de rotación de la bailarina dependiendo de la posición de sus brazos

En mi caso, tuve la suerte de tener un profesor muy apasionado, que nos hablaba de descubrimientos importantes (como el de las ondas gravitacionales), que hacía demostraciones en clase (aunque, si no me equivoco, esto también lo hacían los profesores de otras clases), y que desarrollaba todas las fórmulas, fuesen o no con integrales (aunque esto luego no lo hacen todos los profesores). Me preparé (y fue bastante bien) con ejercicios de mi libro de 1º de bachillerato. 
De todas formas, la asignatura está bien planificada. No se hace excesivamente pesada, es muy fácil aprobar, etc.  

4. Biología Celular e Histología: Por cosas de la vida, estas no son dos asignaturas separadas, sino una sola. Celular (primer semestre) e Histología (segundo semestre). 
En celular das toda la célula, generalmente desde fuera hacia dentro, de forma que comienzas con la membrana plasmática (este tema estuvo francamente curioso) y acabas en el núcleo y con las divisiones celulares. Si te gusta memorizar procesos y proteínas y saber de ellos, entonces te gustará esta asignatura. Es la favorita del 95% de los alumnos de 1º de Biología. A mí me pareció que al final se acabó volviendo demasiado memorística y muy pesada. Sin embargo, Histología, al ser más general (hablas de tejidos y de sus células, pero sin meterte tanto en ellas), se me hizo mucho más entretenida. Ves el tejido epitelial (sabrás sus funciones y propiedades, conocerás distintos tipos de glándulas), el conjuntivo (creo que sufrirás aprendiéndote los tipos de fibras de colágeno cuando des la Matriz Extracelular), el adiposo, óseo (bastante curioso el equilibrio osteoblasto/osteoclasto), cartilaginoso, muscular, nervioso (uno de mis favoritos), sanguíneo (donde te hablarán de un poco de inmunología, aunque puede que no te haga excesiva gracia, como nos pasó a algunos de nosotros, porque no teníamos la suficiente base como para comprender lo que nos decían verdaderamante las cosas) e histología vegetal (muy sencillito).
En las prácticas te hacen realizar una preparación (no hago más spoiler), ver mitosis y meiosis (identificando las diferentes fases) y en las de histología ves cortes de cada tejido que das en teoría (suelen ir a la par con lo que estás viendo en teoría, de hecho), y aprenderás curiosidades como que en roedores, el esófago tiene queratina debido a su alimentación, o que - excluyendo a los camellos - los mamíferos son los únicos con glóbulos rojos sin núcleo. 

Corte tráquea de hámster - Prácticas de 1º Histología UAM

5. Zoología. En mi opinión - y en la de la mayor parte de mis compañeros - es la peor asignatura en estructura, temario y dificultad (pero, oye, hay gente que dice que le encanta y que quiere ser zoólogo) Es extraordinariamente denso (el primer examen es relativamente sencillo y curioso, pues conoces términos como "monofilético" y ves lo que es el mimetismo mulleriano, por ejemplo). Sin embargo, te vas a tirar meses viendo poco más que gusanos marinos (en serio, no se acababa nunca). 
En el primer examen entraban cnidarios, poríferos, ctenóforos, nematodos, platelmintos, nemertinos y rotíferos. Fue horrible de estudiar, además de que te dan nombres hasta cada tipo de cilio o estructura, y no se llaman precisamente "cilio superior", sino cosas como "sifonoglifo". Después, vienen artrópodos, pero no te emociones, que insectos son 10 minutos. Sin embargo, cierto es que la cosa mejor bastante en el segundo semestre. 
Todo se acaban convirtiendo en listas de apomorfías (carcterísticas que definen a un grupo [monofilético] de animales) con nombres de huesos y otras estructuras que no has escuchado en la vida.
PD: Dimos mamíferos en dos clases, y hemos sido de los años en los que más hemos visto.

Las prácticas, fueron más bien malas. En una de las primeras prácticas ya veías animales que, en teoría, verías algunos meses después, y era un descontrol. (Nota mental: el examen de prácticas es más sencillo de lo que parece). Sin embargo, las disecciones (cangrejo, erizo de mar, trucha) estuvieron muy bien, y en el guión de prácticas venía bastante bien

Araña de la práctica Artrópodos Quelicerados

6. Geología. Los compañeros que cursaron CTM o Geología en 2º de bachillerato decían que el temario era prácticamente el mismo. El temario es:
a) Introducción
b) Capas fluidas
c) Interior de la Tierra

d) Ígneas
e) Metamorfismo
f) Meteorización
g) Sedimentarias
h) Deformación
i) Procesos de ladera y aguas subterráneas
j) Morfogénesis en regiones frías
k) Morfogénesis en regiones áridas
l ) Morfogénesis en regiones litorales
m) Estratigrafía paleo
n) Precámbrico y Paleozoico
ñ) Mesozoico y Cenozoico
o) Geología de España y de Madrid

Las prácticas del primer semestre van sobre los distintos tipos de roca y sus características y las del segundo, sobre mapas. Las del segundo semestre, aunque más difíciles, son mucho más entretenidas.

La salida de campo es una maravilla, y contribuyó mucho a mi cambio de opinión sobre la Geología. Porque, efectivamente, cuando entré en la universidad era una de esas que, al estilo de Sheldon Cooper, se metían con esta Ciencia. Sin embargo, este curso - incluyendo un libro de Geofísica que daba más que miedo que me prestó el profesor - me hicieron darme cuenta de la equivocada e ignorante opinión que tenía.

Como conclusión, puedo decir que, a pesar de que he visto que es una carrera muy sacrificada y mucho más complicada de lo que la mayor parte de la gente se cree (nada que no se solucione estudiando), sin duda continuaría en ella si no fuera porque hay otra que me gusta más. La Biología es una Ciencia muy bella y que exige más respeto del que normalmente tiene. Francamente, es mucho más que recomendable.

Perseidas 2015

Era una despejada noche de verano aquella, en la antigua Grecia, y un hombre caminaba ajeno de lo que a su alrededor sucedía. En verdad, era un tipo extraño, amante de sus momentos de soledad y de su privacidad. Aquella noche, ese extraño hombre iba mirando el cielo, posiblemente pensando en lo brillantes que se veían aquellos puntos, o preguntándose qué serían. 

Tan absorto iba en sus pensamientos, que no vio el hoyo que se encontraba frente a él. Grande tuvo que ser el golpe, pues todos los que por allí pasaban se pararon a observar al “tipo raro”. Una mujer ya entrada en años, se le acercó y con sorna le dijo “¡No ves lo que tienes a tus pies y pretendes ver lo que hay sobre tu cabeza!”. Enseguida estallaron las risas de quienes se encontraban alrededor. El hombre, aún refunfuñando por su caída, siguió andando. No sabemos el nombre de la mujer ni de las otras personas. Pero el hombre, aquel hombre extraño del que se burlaron, era Tales, Tales de Mileto.

Tales de Mileto (624 a.C. - 546 a.C. )

¿Qué tiene ese cielo para que un hombre tan brillante, tan absorto que estaba mirándolo, se cayera? Esto lo puedes responder tú mismo en una despejada noche, aún con los efectos de la contaminación lumínica. El color oscuro del cielo contrasta con esos puntos brillantes, las estrellas. Es más, algunos de esos puntos no son estrellas, sino planetas. El punto más brillante es Venus. Es decir, estás mirando a un mundo de tamaño similar al nuestro cuya superficie se encuentra a unos 460 ºC.

Planeta Venus

Y algunas veces, además, pueden verse algunas cosas aún más extrañas. Ejemplo de ello son los cometas. Antiguamente, por las teorías de Aristóteles, se pensaba que los cometas, en vez de venir del propio espacio, eran exhalaciones de nuestra atmósfera. Sin embargo, las primeras mediciones y observaciones chocaron contra esta teoría, y en el siglo XVIII ya se sabía que su origen era exterior a la Tierra.

En la Edad Media, la población creía ciegamente en la astrología; esto es, pensaba que los fenómenos estelares (posición de estrellas y planetas, aparición de cometas…) afectaban a nuestra vida diaria. De hecho, la palabra “desastre” en realidad significa “mala estrella”. Los cometas solían, por lo tanto, significar que algo malo iba a ocurrir. Ejemplo de esta creencia es la pintura del año 1528, de un médico francés, que muestra a un cometa como una espada (la cola del cometa) y una cabeza ensartada (el núcleo).

Pintura de 1528

Igualmente, en aquella época, cuando se estaba de luto, las mujeres llevaban el pelo suelto, pues querían decir que tenían tanto dolor que no querían ni tenían tiempo para arreglarse el pelo. Por ello, algunos cometas fueron representados como mujeres ancianas con el pelo suelto.

Una mujer con el pelo suelto representando a un cometa, presagio de que ocurriría alguna tragedia

Hoy día sabemos que son algo así como bolas de nieve. Los cometas están constituidos por roca y hielo. Son cuerpos que forman parte del Sistema Solar y que siguen órbitas con un período elevado (el propio cometa Halley se acerca a la Tierra cada 76 años). Cuando están aún lejos del Sol, podemos apreciar en los cometas una envuelta alrededor del núcleo del propio cometa, que está compuesta de polvo y gas. A esta envuelta se le llama “coma”.

Si nosotros acercamos una bola de nieve a una vela, veremos cómo comienza a derretirse. Igualmente, cuando el cometa, que en su composición se encuentra el hielo, se acerca el Sol, cuya superficie está a unos 6.000 ºC, suelta polvo y gas. El viento solar azota a la coma y se forma una cola, una cola de iones. Por otra parte, también se forma otra cola, pero formada por polvo, que va en dirección contraria a la del movimiento del cometa, igual que sucede con una bandera en un vehículo.

A medida que el cometa se acerca al Sol va, por lo tanto, perdiendo masa. Si se acerca demasiado, o si lleva ya muchos años pasando una y otra vez, el cometa se desintegra, quedando pequeños fragmentos de roca, llamados meteoroides. Estos fragmentos pueden quedar en cualquier lado, incluyendo en la órbita de planetas. Es decir, hay fragmentos de cometas (trozos de roca) en la órbita de nuestro planeta. Por ello, cuando la Tierra pasa por ahí, choca con ellos. Estos fragmentos atraviesan la atmósfera de la Tierra y, normalmente, se desintegran en ella debido a la fricción de la caída hacia el suelo. Lo que vemos es una brillante luz en el cielo a la que llamamos “estrella fugaz”. En realidad, el nombre técnico para “estrella fugaz” es “meteoro”.

Pero como hay más de un fragmento en la misma zona (a la cual se le llama “radiante”), lo que obtenemos es una caída continua de trozos de roca que se van a desintegrar en la atmósfera; es decir, es una lluvia de estrellas. Y éstas no son nuevas. De hecho, se sabe que ya en el siglo II a.C. en China se presenció una. Cuando un meteoro o estrella fugaz es especialmente brillante se le llama “bólido”. 

Por otra parte, si ese fragmento de cometa inicial (meteoroide), consigue atravesar toda la atmósfera terrestre y finalmente colisiona contra la superficie, se le llama meteorito.

Hay muchos cometas, aunque probablemente el más famoso es el Cometa Halley, que tiene un período de 76 años y que volverá a pasar por nuestro planeta en el año 2061. Pero no es el único. Hay otro cometa importante, llamado  Swift-Tuttle, que tarda 133 años en dar una vuelta al Sistema Solar. Éste va dejando restos de gas y partículas rocosas, fruto de su acercamiento al Sol, en la órbita de la Tierra. Aunque son muy pequeñas, tienen una velocidad tan grande (más de 200.000 km/h) que pueden ser observados a simple vista.

Cometa Halley

La constelación de la bóveda celeste donde se encuentra el radiante (punto del que parecen venir todas las estrellas fugaces o meteoros) es la que le da el nombre a la lluvia de estrellas. En este caso, es la constelación de Perseo (en honor al famoso héroe de la mitología griega que, por ejemplo, rescató a Andrómeda de un monstruo marino convirtiéndolo en piedra gracias a la cabeza de Medusa), por lo que a esta lluvia se le llama “Perseidas”.

El semidiós Perseo con la cabeza de Madusa

El nombre de “Lágrimas de San Lorenzo” se debe a que coincide la lluvia de estrellas con esta festividad, y se asocia a las lágrimas del mismo, pues fue quemado vivo en una hoguera. Este año, 2015, el mejor momento para ver las Perseidas será la noche del 12 al 13 de agosto.

Aparición de la Virgen a San Lorenzo, Greco

Pero también existen los asteroides, que son cuerpos formador por roca o metal que, generalmente, se encuentran en el cinturón de asteroides, entre Júpiter y Marte, aunque al acercarse a un planeta pueden desviarse. El nombre en griego significa “figura de estrella”, pues, vistos con un telescopio, parecen estrellas.

Imagen superior: Asteroirde Vesta
Imagen inferior: trozos de este asteroide que cayeron a la Tierra, vistos a través de un microscopio polarizado

Recapitulemos. Hemos visto lo que es un cometa (grosso modo, cuerpo del Sistema Solar que orbita alrededor del Sol y que está formado por hielo y roca), un meteoroide (también grosso modo, los fragmentos en los que se desintegra un cometa), un meteoro (un fragmento desintegrándose en la atmósfera, también llamado “estrella fugaz”), un bólido (un meteoro especialmente brillante) y un asteroide (cuerpo rocoso o de metal que, generalmente, se encuentra en el Cinturón de Asteroides).

Y, aún así, no son las únicas cosas curiosas que pueden verse en el cielo. En el año 1054, una estrella masiva explotó en una supernova (cuyos restos forman la famosa nebulosa del Cangrejo) que podía verse a simple vista desde la Tierra, como se aprecia en la pintura realizada en un saliente de una región de cañones de Nuevo México.

Nebulosa del Cangrejo, restos de la supernova de 1054 representada en esta pintura Anasazi 

Con toda esta belleza sobre nosotros, no es de extrañar que Tales se cayera en aquel hoyo. 

Fracciones

1. NOMENCLATURA

Una fracción es la relación entre dos números, su cociente. Se expresa de la siguiente forma:

$$\frac{a}{b} \Leftrightarrow b \neq 0$$

Es decir, $b$ no puede ser cero, puesto que ningún número se puede dividir entre cero.

Otras formas de expresar esto son:

$$\frac{a}{b} = a/b = a : b $$

En cualquier caso,  $a$ es el llamado "numerador"; y $b$, el "denominador".

2. INTRODUCCIÓN (Partes de la unidad, división y porcentaje)

Las fracciones sirven, por lo tanto, para expresar una división. De esta forma, si tenemos que repartir 10 caramelos entre cinco niños, podemos expresarlo así:

$$\frac{10}{5} = 2$$

Si tenemos que repartir ocho entre los mismos cinco niños, tenemos:

$$\frac{8}{5} = 1,6$$

Es decir, si pudiéramos dividir los caramelos, a cada niño le tocaría 1,6.

Las fracciones sirven también para representar las partes de una unidad, de un todo.  Por ejemplo, imaginemos que tenemos un bizcocho partido en 6 porciones. Cada uno de esos trozos representa sólo una parte del bizcocho entero. En concreto, cada trozo representa 1/6 del total. Si yo cojo todos los trozos del bizcocho, entonces tengo al bizcocho entero ($\frac{1}{6} + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  = \frac{6}{6} = 1$). El uno representa el total, la unidad, porque si yo sumo todas las porciones, todas las fracciones de algo, obtengo ese algo entero.

Por ejemplo, si el color rojo representa la fresa, el marrón el chocolate y el amarillo la vainilla en la siguiente tarta:

¿Qué parte del total de esta tarta representa la fresa? Dos trozos de los seis posibles: $\frac{2}{6}$

¿Qué parte representa del total el chocolate? De nuevo, de los seis trozos que hay, sólo dos son de chocolate: $\frac{2}{6}$

Imagina que hay un niño al que no le gusta el chocolate. Por lo tanto, para él van a ser todas las partes que no sean de chocolate: las de fresa y las de vainilla ¿Qué parte de la tarta va a poder comer este niño? Sumamos, por lo tanto, todos los trozos que el niño se va a poder comer: los de fresa y los de vainilla: $2 + 2 = 4$. ¿De cuántos? De 6. Por lo tanto, el niño, de los seis trozos que hay, va  a poder comer 4; es decir, puede comer $\frac{4}{6}$ de la tarta.

Igualmente, es interesante decir que los porcentajes son en realidad fracciones. Por ejemplo, cuando decimos que el 90% de las plantas tienen flores, queremos decir que si observamos 100 plantas, 90 de ellas tendrán flores. Es decir, que $\frac{90}{100}$ son plantas con flores.

Adelfa (Nerium Oleander), planta con flor

Y si ahora nos dicen que dos tercios de la clase ($\frac{2}{3}$) tienen el pelo oscuro, y sabemos que en la clase hay 30 personas en total, ¿cómo lo calculamos?

Hay que dividir el total (las 30 personas de la clase) entre el denominador (3) y multiplicarlo por el numerador (2):

$$\frac{2}{3} \cdot 30 =  2 \cdot \frac{30}{3} = 2 \cdot 10 = 20$$

Hay veinte personas con el pelo oscuro.

Veamos otro ejemplo:

- Si tengo cuarenta tomates, pero la mitad ($\frac{1}{2}$) están malos,  ¿cuántos se han estropeado? 

Tomate (Solanum lycopersicum)
¿Sabías que no es una verdura, sino una fruta?

Esto lo puedes hacer de cabeza, ¿vedad? Es una muestra de que tú en realidad sabes cómo se hace:

$$\frac{1}{2} \cdot 40 = \frac{40}{2} = 20$$

Hay 20 tomates estropeados

- Si hay 35 pájaros, y tres quintos ($\frac{3}{5}$) son gorriones (en latín: passer domesticus), ¿cuántos gorriones hay?

$$\frac{3}{5} \cdot 35 = 3 \cdot \frac{35}{5} = 3 \cdot 7 = 21$$

Hay 21 gorriones en total.

Ejemplar macho de gorrión (Passer domesticus)

3. TIPOS DE FRACCIONES

Podemos dividir las fracciones en dos tipos:

a) Fracciones propias: Son aquellas en las que el denominador ($b$) es mayor que el numerador ($a$), como por ejemplo $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{214}{971}, \frac{5}{7}…$

b) Fracciones impropias: Son aquellas en las que el numerador ($a$) es mayor que  el denominador ($b$), como ocurre en $\frac{5}{2}, \frac{70}{9}, \frac{10}{3}, \frac{214}{97}…$

4. FRACCIONES EQUIVALENTES  E IRREDUCIBLES

Imaginemos que tenemos dos fracciones: $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$, como bien podrían ser $\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6}$. Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando en realidad representan la misma cantidad, como ocurre con $\frac{10}{5}$ y $\frac{20}{10}$, pues, en este caso, ambas fracciones son iguales a $2$. Esto se puede ver en el dibujo, en el que se comparan las fracciones $\frac{6}{8}$ y $\frac{3}{4}$: ambas son equivalentes.

¿Cómo ver si dos fracciones son equivalentes? Para ello, se multiplica $a \cdot d$ (extremos) y $b \cdot c $ (medios). Si sale el mismo resultado en ambas multiplicaciones, son equivalentes. Veamos algunos ejemplos:

$\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6} \to 2 \cdot 6$ y $3 \cdot 4 \to 12 = 12$. Por lo tanto, éstas son fracciones equivalentes.

$\frac{4}{5}$ y $\frac{12}{15} \to 4 \cdot 15$ y $5 \cdot 12 \to 60 = 60$. Por lo tanto, también son equivalentes.

$\frac{3}{5}$ y $\frac{5}{10} \to 3 \cdot 10$ y $5 \cdot 5 \to 30 \neq 25$. No son equivalentes.  

Si te fijas, todas las fracciones que han sido equivalentes tienen algo en común: la segunda es la primera multiplicando al denominador y al numerador por el mismo número. Fíjate:

a) $\frac{3}{4}$ y $\frac{6}{8} \to \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$

b) $\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6} \to \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

c) $\frac{4}{5}$ y $\frac{12}{15} \to\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{3} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$  

Por lo tanto, debe ser igualmente posible el proceso inverso: obtener la primera fracción a partir de la segunda (dividiéndola por un número):

a) $\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}$

b) $\frac{4}{6} = \frac{4 : 2 }{6 : 2} = \frac{2}{3}$ 

 c) $\frac{12}{15} = \frac{12 : 3}{15 : 3} = \frac{4}{5}$ 

Es decir, a partir de una fracción que contiene unos números grandes, muchas veces es posible convertirla en una fracción equivalente pero más simple.

$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ (dividiendo entre 10)

$\frac{24}{56} = \frac{3}{7}$ (dividiendo entre 8)

$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ (dividiendo entre 5)

$\frac{12}{18} = \frac{4}{3}$ (dividiendo entre 6)

A esta fracción que ya no se puede dividir más, como las obtenidas en estos ejemplos, se le llama "fracción irreducible".

5. OPERACIONES CON FRACCIONES

a) Sumas y restas. Pueden darse varios casos:

- Todas las fracciones tienen el mismo denominador. En este caso, el denominador se mantiene y lo único que hacemos es sumar los numeradores. Si luego es necesario, simplificamos la fracción que hemos obtenido haciéndola irreducible. Veamos ejemplos:

$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$

$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{6}{7}$

$\frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{4+3}{5} = \frac{7}{5}$

$\frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{1+5}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$\frac{5}{16} + \frac{3}{16} = \frac{5+3}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

- Las fracciones tienen diferente denominador. Este es el caso más complicado. Sólo podemos sumar y restar las fracciones que tengan el mismo denominador. Por lo tanto, lo que hacemos es obtener fracciones equivalentes a las que nos dan. Debemos conseguir que todas las fracciones tengan el mismo denominador. Para ello, hemos de encontrar el mínimo común múltiplo de todas las fracciones que nos dan. Una vez calculado el mínimo común múltiplo, hallamos las fracciones equivalentes de forma que tengan ese valor en el denominador. Ejemplos:

a) $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 2 y de 4), es cuatro. Por lo tanto, la primera fracción ha de ser multiplicada arriba y abajo por dos, a fin de que el 4 aparezca en el denominador: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{4}$. De esta forma:

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4}$

b) $\frac{3}{5} + \frac{7}{10} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 5 y de 10), es 10. Por lo tanto, la primera fracción, al igual que en el caso anterior, ha de ser multiplicado arriba (el numerador) como abajo (el denominador), por 2: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$

 $\frac{3}{5} + \frac{7}{10} = \frac{6}{10} + \frac{7}{10} = \frac{6+7}{10} = \frac{13}{10}$

c) $\frac{1}{5} + \frac{2}{3} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 3 y de 5), es 15. Por lo tanto, la primera fracción ha de ser multiplicada (arriba y abajo) por 3, y la segunda, por 5, con el fin de que aparezca el m.c.m (15) en ambos denominadores:

 $\frac{1}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3}{15} + \frac{10}{15} = \frac{3+10}{15} = \frac{13}{15}$

d) $\frac{1}{2} + \frac{4}{3} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 2 y de 3), es 6. Por lo tanto, la primera fracción ha de ser multiplicada por 3, y la segunda, por 2, para que en ambos denominadores aparezca el 6:

 $\frac{1}{2} + \frac{4}{3} = \frac{3}{6} + \frac{8}{6} = \frac{3+8}6{} = \frac{11}{6}$

e) $\frac{3}{6} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{3+4}{6} = \frac{7}{6}$

f) $\frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{6}{10} + \frac{5}{10} = \frac{6+5}{10} = \frac{11}{10}$

g) $\frac{1}{3} + \frac{2}{7} = \frac{7}{21} + \frac{6}{21} = \frac{7+6}{21} = \frac{13}{21}$

h) $\frac{2}{3} + \frac{1}{8} = \frac{16}{24} + \frac{3}{24} = \frac{16+3}{24} = \frac{19}{24}$

Recuerda: para poder comparar fracciones (ver cuál es la mayor y cuál la menor), tienen que tener el mismo denominador. De esta forma, lo único que habrá que hacer será fijarse en el numerador: quien, teniendo el mismo denominador que las demás, sea el de mayor numerador, es la fracción más grande. Ejemplos:

$\frac{1}{2}$ y $\frac{4}{3} \to$ Se convierten en: $\frac{3}{6}$ y $\frac{8}{6}$. Claramente, es mayor la segunda. por lo tanto: $\frac{4}{3}; \frac{1}{2}$

$\frac{3}{6}$ y $\frac{2}{3} \to$ Se convierten en: $\frac{3}{6}$ y $\frac{4}{6}$. Es mayor la sengunda también en este ejemplo. Por lo tanto: $\frac{2}{3} > \frac{3}{6}$

 $\frac{3}{5}$ y $ \frac{1}{2} \to$ Se convierten en $\frac{6}{10}$ y $\frac{5}{10}$. Es decir, la primera es mayor que la segunda: $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}, \frac{1}{8}, \frac{3}{4} \to $ Se convierten en: $\frac{16}{24}, \frac{3}{24}$ y $\frac{18}{24}$. Por lo tanto: $\frac{3}{4} > \frac{2}{3} > \frac{1}{8}$

Es importante ahora recordar que un número dividido entre 1 es ese mismo número:

$$\boxed{\frac{a}{1} = 1}$$

Por lo tanto, podemos expresar cualquier número como una fracción: la fracción entre ese mismo número y uno.

Entonces, si nos aparece, por ejemplo: $2 + \frac{1}{2}$, podemos utilizarlo (poner el 2 como fracción), y utilizar las sumas que acabamos de aprender (el uso del mínimo común múltiplo). Es decir:

$2 + \frac{1}{2} = \frac{2}{1} + \frac{1}{2}$ (m.c.m[1,2] = 2) $\to \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$1+ \frac{1}{7} = \frac{1}{1} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$

$3 + \frac{3}{4} = \frac{3}{1} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$

$2 + \frac{2}{3} = \frac{2}{1} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

b) Multiplicaciones y divisiones.

La multiplicación de fracciones es bastante sencilla: los numeradores se multiplican entre sí y los denominadores entre sí:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Ejemplos:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 9} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

$\frac{2}{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 3} = \frac{16}{15}$

Las divisiones son un poco más complejas, aunque igualmente, una vez aprendido el proceso, es totalmente mecánico. 

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Es decir, las divisiones se realizan en cruz:

Esta es una forma de expresar las divisiones, aunque también lo podemos poner así:

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Simplemente se trata de poner una fracción (la primera que aparezca) en el numerador, y la otra en el denominador. Si no nos apetece pasarlo a la primera forma ($\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$), podemos hacer este truco: el sótano por la azotea. Es decir, se multiplica el número que esté en posición más alta por el que esté en posición más baja y se les coloca arriba en la fracción resultante. Los otros dos números, los de en medio, se multiplican entre sí y se colocan en el denominador de la fracción resultante.

Veamos ejemplos:

$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{3} : \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$

$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{7}} = \frac{2}{5} : \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7}{1 \cdot 5} = \frac{14}{5}$

$\frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{3}} = \frac{5}{4} : \frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 1} = \frac{15}{4}$

$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{9} : \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 2}{9  \cdot 3} = \frac{2}{27}$

$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{5}} = \frac{4}{3} : \frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{20}{3}$

$\frac{\frac{9}{7}}{\frac{1}{2}} = \frac{9}{7} : \frac{1}{2} = \frac{9 \cdot 2}{7 \cdot 1} = \frac{18}{7}$

$\frac{2}{3} : 5 = \frac{2}{3} : \frac{5}{1} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}$

$\frac{1}{3} : 2 = \frac{1}{3} : \frac{2}{1} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

$\frac{4}{7} : 3 = \frac{4}{7} : \frac{3}{1} = \frac{4 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{4}{21}$

c) Potencias y raíces.

- Si tenemos una fracción elevada a un exponente, $n$, se cumple que:

$$\boxed{{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^n}{b^n}}$$

Es decir, se elevan a $n$ tanto el denominador como el numerador:

${(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

${(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$

${(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$

${(\frac{1}{5})}^{3} = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125}$

- La raíz de una fracción ya se vio en este otro post. En ese caso, se cumplía que:

$$\boxed{\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}}$$ Ejemplos:

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$

$\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{6}} = \sqrt[3]{\frac{5}{6}}$

$\frac{\sqrt[45]{11}}{\sqrt[45]{22}} = \sqrt[45]{\frac{1}{2}}$


Y también en sentido inverso:

$\sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\sqrt[7]{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{5}}$

$\sqrt[8]{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt[8]{8}}{\sqrt[8]{3}}$

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$