Fracciones

1. NOMENCLATURA

Una fracción es la relación entre dos números, su cociente. Se expresa de la siguiente forma:

$$\frac{a}{b} \Leftrightarrow b \neq 0$$

Es decir, $b$ no puede ser cero, puesto que ningún número se puede dividir entre cero.

Otras formas de expresar esto son:

$$\frac{a}{b} = a/b = a : b $$

En cualquier caso,  $a$ es el llamado "numerador"; y $b$, el "denominador".

2. INTRODUCCIÓN (Partes de la unidad, división y porcentaje)

Las fracciones sirven, por lo tanto, para expresar una división. De esta forma, si tenemos que repartir 10 caramelos entre cinco niños, podemos expresarlo así:

$$\frac{10}{5} = 2$$

Si tenemos que repartir ocho entre los mismos cinco niños, tenemos:

$$\frac{8}{5} = 1,6$$

Es decir, si pudiéramos dividir los caramelos, a cada niño le tocaría 1,6.

Las fracciones sirven también para representar las partes de una unidad, de un todo.  Por ejemplo, imaginemos que tenemos un bizcocho partido en 6 porciones. Cada uno de esos trozos representa sólo una parte del bizcocho entero. En concreto, cada trozo representa 1/6 del total. Si yo cojo todos los trozos del bizcocho, entonces tengo al bizcocho entero ($\frac{1}{6} + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  = \frac{6}{6} = 1$). El uno representa el total, la unidad, porque si yo sumo todas las porciones, todas las fracciones de algo, obtengo ese algo entero.

Por ejemplo, si el color rojo representa la fresa, el marrón el chocolate y el amarillo la vainilla en la siguiente tarta:

¿Qué parte del total de esta tarta representa la fresa? Dos trozos de los seis posibles: $\frac{2}{6}$

¿Qué parte representa del total el chocolate? De nuevo, de los seis trozos que hay, sólo dos son de chocolate: $\frac{2}{6}$

Imagina que hay un niño al que no le gusta el chocolate. Por lo tanto, para él van a ser todas las partes que no sean de chocolate: las de fresa y las de vainilla ¿Qué parte de la tarta va a poder comer este niño? Sumamos, por lo tanto, todos los trozos que el niño se va a poder comer: los de fresa y los de vainilla: $2 + 2 = 4$. ¿De cuántos? De 6. Por lo tanto, el niño, de los seis trozos que hay, va  a poder comer 4; es decir, puede comer $\frac{4}{6}$ de la tarta.

Igualmente, es interesante decir que los porcentajes son en realidad fracciones. Por ejemplo, cuando decimos que el 90% de las plantas tienen flores, queremos decir que si observamos 100 plantas, 90 de ellas tendrán flores. Es decir, que $\frac{90}{100}$ son plantas con flores.

Adelfa (Nerium Oleander), planta con flor

Y si ahora nos dicen que dos tercios de la clase ($\frac{2}{3}$) tienen el pelo oscuro, y sabemos que en la clase hay 30 personas en total, ¿cómo lo calculamos?

Hay que dividir el total (las 30 personas de la clase) entre el denominador (3) y multiplicarlo por el numerador (2):

$$\frac{2}{3} \cdot 30 =  2 \cdot \frac{30}{3} = 2 \cdot 10 = 20$$

Hay veinte personas con el pelo oscuro.

Veamos otro ejemplo:

- Si tengo cuarenta tomates, pero la mitad ($\frac{1}{2}$) están malos,  ¿cuántos se han estropeado? 

Tomate (Solanum lycopersicum)
¿Sabías que no es una verdura, sino una fruta?

Esto lo puedes hacer de cabeza, ¿vedad? Es una muestra de que tú en realidad sabes cómo se hace:

$$\frac{1}{2} \cdot 40 = \frac{40}{2} = 20$$

Hay 20 tomates estropeados

- Si hay 35 pájaros, y tres quintos ($\frac{3}{5}$) son gorriones (en latín: passer domesticus), ¿cuántos gorriones hay?

$$\frac{3}{5} \cdot 35 = 3 \cdot \frac{35}{5} = 3 \cdot 7 = 21$$

Hay 21 gorriones en total.

Ejemplar macho de gorrión (Passer domesticus)

3. TIPOS DE FRACCIONES

Podemos dividir las fracciones en dos tipos:

a) Fracciones propias: Son aquellas en las que el denominador ($b$) es mayor que el numerador ($a$), como por ejemplo $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{214}{971}, \frac{5}{7}…$

b) Fracciones impropias: Son aquellas en las que el numerador ($a$) es mayor que  el denominador ($b$), como ocurre en $\frac{5}{2}, \frac{70}{9}, \frac{10}{3}, \frac{214}{97}…$

4. FRACCIONES EQUIVALENTES  E IRREDUCIBLES

Imaginemos que tenemos dos fracciones: $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$, como bien podrían ser $\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6}$. Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando en realidad representan la misma cantidad, como ocurre con $\frac{10}{5}$ y $\frac{20}{10}$, pues, en este caso, ambas fracciones son iguales a $2$. Esto se puede ver en el dibujo, en el que se comparan las fracciones $\frac{6}{8}$ y $\frac{3}{4}$: ambas son equivalentes.

¿Cómo ver si dos fracciones son equivalentes? Para ello, se multiplica $a \cdot d$ (extremos) y $b \cdot c $ (medios). Si sale el mismo resultado en ambas multiplicaciones, son equivalentes. Veamos algunos ejemplos:

$\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6} \to 2 \cdot 6$ y $3 \cdot 4 \to 12 = 12$. Por lo tanto, éstas son fracciones equivalentes.

$\frac{4}{5}$ y $\frac{12}{15} \to 4 \cdot 15$ y $5 \cdot 12 \to 60 = 60$. Por lo tanto, también son equivalentes.

$\frac{3}{5}$ y $\frac{5}{10} \to 3 \cdot 10$ y $5 \cdot 5 \to 30 \neq 25$. No son equivalentes.  

Si te fijas, todas las fracciones que han sido equivalentes tienen algo en común: la segunda es la primera multiplicando al denominador y al numerador por el mismo número. Fíjate:

a) $\frac{3}{4}$ y $\frac{6}{8} \to \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$

b) $\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6} \to \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

c) $\frac{4}{5}$ y $\frac{12}{15} \to\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{3} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$  

Por lo tanto, debe ser igualmente posible el proceso inverso: obtener la primera fracción a partir de la segunda (dividiéndola por un número):

a) $\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}$

b) $\frac{4}{6} = \frac{4 : 2 }{6 : 2} = \frac{2}{3}$ 

 c) $\frac{12}{15} = \frac{12 : 3}{15 : 3} = \frac{4}{5}$ 

Es decir, a partir de una fracción que contiene unos números grandes, muchas veces es posible convertirla en una fracción equivalente pero más simple.

$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ (dividiendo entre 10)

$\frac{24}{56} = \frac{3}{7}$ (dividiendo entre 8)

$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ (dividiendo entre 5)

$\frac{12}{18} = \frac{4}{3}$ (dividiendo entre 6)

A esta fracción que ya no se puede dividir más, como las obtenidas en estos ejemplos, se le llama "fracción irreducible".

5. OPERACIONES CON FRACCIONES

a) Sumas y restas. Pueden darse varios casos:

- Todas las fracciones tienen el mismo denominador. En este caso, el denominador se mantiene y lo único que hacemos es sumar los numeradores. Si luego es necesario, simplificamos la fracción que hemos obtenido haciéndola irreducible. Veamos ejemplos:

$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$

$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{6}{7}$

$\frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{4+3}{5} = \frac{7}{5}$

$\frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{1+5}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$\frac{5}{16} + \frac{3}{16} = \frac{5+3}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

- Las fracciones tienen diferente denominador. Este es el caso más complicado. Sólo podemos sumar y restar las fracciones que tengan el mismo denominador. Por lo tanto, lo que hacemos es obtener fracciones equivalentes a las que nos dan. Debemos conseguir que todas las fracciones tengan el mismo denominador. Para ello, hemos de encontrar el mínimo común múltiplo de todas las fracciones que nos dan. Una vez calculado el mínimo común múltiplo, hallamos las fracciones equivalentes de forma que tengan ese valor en el denominador. Ejemplos:

a) $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 2 y de 4), es cuatro. Por lo tanto, la primera fracción ha de ser multiplicada arriba y abajo por dos, a fin de que el 4 aparezca en el denominador: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{4}$. De esta forma:

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4}$

b) $\frac{3}{5} + \frac{7}{10} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 5 y de 10), es 10. Por lo tanto, la primera fracción, al igual que en el caso anterior, ha de ser multiplicado arriba (el numerador) como abajo (el denominador), por 2: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$

 $\frac{3}{5} + \frac{7}{10} = \frac{6}{10} + \frac{7}{10} = \frac{6+7}{10} = \frac{13}{10}$

c) $\frac{1}{5} + \frac{2}{3} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 3 y de 5), es 15. Por lo tanto, la primera fracción ha de ser multiplicada (arriba y abajo) por 3, y la segunda, por 5, con el fin de que aparezca el m.c.m (15) en ambos denominadores:

 $\frac{1}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3}{15} + \frac{10}{15} = \frac{3+10}{15} = \frac{13}{15}$

d) $\frac{1}{2} + \frac{4}{3} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 2 y de 3), es 6. Por lo tanto, la primera fracción ha de ser multiplicada por 3, y la segunda, por 2, para que en ambos denominadores aparezca el 6:

 $\frac{1}{2} + \frac{4}{3} = \frac{3}{6} + \frac{8}{6} = \frac{3+8}6{} = \frac{11}{6}$

e) $\frac{3}{6} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{3+4}{6} = \frac{7}{6}$

f) $\frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{6}{10} + \frac{5}{10} = \frac{6+5}{10} = \frac{11}{10}$

g) $\frac{1}{3} + \frac{2}{7} = \frac{7}{21} + \frac{6}{21} = \frac{7+6}{21} = \frac{13}{21}$

h) $\frac{2}{3} + \frac{1}{8} = \frac{16}{24} + \frac{3}{24} = \frac{16+3}{24} = \frac{19}{24}$

Recuerda: para poder comparar fracciones (ver cuál es la mayor y cuál la menor), tienen que tener el mismo denominador. De esta forma, lo único que habrá que hacer será fijarse en el numerador: quien, teniendo el mismo denominador que las demás, sea el de mayor numerador, es la fracción más grande. Ejemplos:

$\frac{1}{2}$ y $\frac{4}{3} \to$ Se convierten en: $\frac{3}{6}$ y $\frac{8}{6}$. Claramente, es mayor la segunda. por lo tanto: $\frac{4}{3}; \frac{1}{2}$

$\frac{3}{6}$ y $\frac{2}{3} \to$ Se convierten en: $\frac{3}{6}$ y $\frac{4}{6}$. Es mayor la sengunda también en este ejemplo. Por lo tanto: $\frac{2}{3} > \frac{3}{6}$

 $\frac{3}{5}$ y $ \frac{1}{2} \to$ Se convierten en $\frac{6}{10}$ y $\frac{5}{10}$. Es decir, la primera es mayor que la segunda: $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}, \frac{1}{8}, \frac{3}{4} \to $ Se convierten en: $\frac{16}{24}, \frac{3}{24}$ y $\frac{18}{24}$. Por lo tanto: $\frac{3}{4} > \frac{2}{3} > \frac{1}{8}$

Es importante ahora recordar que un número dividido entre 1 es ese mismo número:

$$\boxed{\frac{a}{1} = 1}$$

Por lo tanto, podemos expresar cualquier número como una fracción: la fracción entre ese mismo número y uno.

Entonces, si nos aparece, por ejemplo: $2 + \frac{1}{2}$, podemos utilizarlo (poner el 2 como fracción), y utilizar las sumas que acabamos de aprender (el uso del mínimo común múltiplo). Es decir:

$2 + \frac{1}{2} = \frac{2}{1} + \frac{1}{2}$ (m.c.m[1,2] = 2) $\to \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$1+ \frac{1}{7} = \frac{1}{1} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$

$3 + \frac{3}{4} = \frac{3}{1} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$

$2 + \frac{2}{3} = \frac{2}{1} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

b) Multiplicaciones y divisiones.

La multiplicación de fracciones es bastante sencilla: los numeradores se multiplican entre sí y los denominadores entre sí:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Ejemplos:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 9} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

$\frac{2}{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 3} = \frac{16}{15}$

Las divisiones son un poco más complejas, aunque igualmente, una vez aprendido el proceso, es totalmente mecánico. 

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Es decir, las divisiones se realizan en cruz:

Esta es una forma de expresar las divisiones, aunque también lo podemos poner así:

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Simplemente se trata de poner una fracción (la primera que aparezca) en el numerador, y la otra en el denominador. Si no nos apetece pasarlo a la primera forma ($\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$), podemos hacer este truco: el sótano por la azotea. Es decir, se multiplica el número que esté en posición más alta por el que esté en posición más baja y se les coloca arriba en la fracción resultante. Los otros dos números, los de en medio, se multiplican entre sí y se colocan en el denominador de la fracción resultante.

Veamos ejemplos:

$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{3} : \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$

$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{7}} = \frac{2}{5} : \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7}{1 \cdot 5} = \frac{14}{5}$

$\frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{3}} = \frac{5}{4} : \frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 1} = \frac{15}{4}$

$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{9} : \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 2}{9  \cdot 3} = \frac{2}{27}$

$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{5}} = \frac{4}{3} : \frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{20}{3}$

$\frac{\frac{9}{7}}{\frac{1}{2}} = \frac{9}{7} : \frac{1}{2} = \frac{9 \cdot 2}{7 \cdot 1} = \frac{18}{7}$

$\frac{2}{3} : 5 = \frac{2}{3} : \frac{5}{1} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}$

$\frac{1}{3} : 2 = \frac{1}{3} : \frac{2}{1} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

$\frac{4}{7} : 3 = \frac{4}{7} : \frac{3}{1} = \frac{4 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{4}{21}$

c) Potencias y raíces.

- Si tenemos una fracción elevada a un exponente, $n$, se cumple que:

$$\boxed{{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^n}{b^n}}$$

Es decir, se elevan a $n$ tanto el denominador como el numerador:

${(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

${(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$

${(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$

${(\frac{1}{5})}^{3} = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125}$

- La raíz de una fracción ya se vio en este otro post. En ese caso, se cumplía que:

$$\boxed{\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}}$$ Ejemplos:

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$

$\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{6}} = \sqrt[3]{\frac{5}{6}}$

$\frac{\sqrt[45]{11}}{\sqrt[45]{22}} = \sqrt[45]{\frac{1}{2}}$


Y también en sentido inverso:

$\sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\sqrt[7]{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{5}}$

$\sqrt[8]{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt[8]{8}}{\sqrt[8]{3}}$

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$