El determinismo de la física clásica

¿Por qué se dice que la física clásica es determinista? ¿Por qué podemos conocer en todo momento la posición de un coche que se mueve? ¿Por qué se siguen las leyes de Newton? ¿Por qué el clima, si la física es determinista, acaba siendo impredecible?

Para empezar, debemos definir lo que es el lagrangiano. No te dejes asustar por el nombre: hace referencia al matemático del siglo XVIII que lo desarrolló, Lagrange. 

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Fuente

Así, el lagrangiano se define como:

$$\boxed{\mathcal{L} = T - U}$$

donde $T$ es la energía cinética  (debida el movimiento) y  $U$ representa la energía potencial. Es decir, en el caso más sencillo y conocido, el lagrangiano se expresaría como:

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}mv^2 - mgh$$ 

(es decir, una masa $m$, como un coche, moviéndose y en un campo gravitatorio, como podría ser el terrestre). 

¿Qué representa el lagrangiano? Como la expresión matemática, nos dice, el lagrangiano  se refiere a cómo van variando la energía cinética y la energía potencial, cómo se van intercambiando. Porque, por ejemplo, ya sabemos que cuando lanzamos algo hacia arriba, se va frenando (pierde energía cinética) pero, precisamente por subir, adquiere mayor energía potencial.

Una vez definido esto, ya estamos entonces preparados para el  siguiente paso que será, nuevamente una definición.

 En física, se conoce con el nombre de acción, $S$, a la expresión:

$$S = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L dt = \int_{t_1}^{t_2} (T-U) dt$$ 

La acción nos dice cómo ha variado el lagrangiano en un intervalo de tiempo $(t_1,t_2)$. Es decir: cómo se han ido intercambiando la energía cinética y potencial en el tiempo.

Vale, lo prometo: por el momento, no más definiciones matemáticas. Vamos ya con la física. Resulta que en la naturaleza se sigue el principio de Hamilton o principio de mínima acción: 

En la naturaleza, los cuerpos (ya sea un coche, un balón de fútbol o un meteorito) van a seguir aquellas trayectorias en las cuales se minimice la acción, $S$. 

Es decir:

$$\boxed{\delta S = 0}$$

O lo que es lo mismo: hacer que esta integral $S = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L dt = \int_{t_1}^{t_2} (T-U) dt$ sea lo más pequeña posible*.

Esto se utiliza en el llamado cálculo variacional, pues también se intenta que una integral de la forma $ J = \int f[y(x), y'(x); x] dx$  sea lo más pequeña posible ($\delta J=0$). De esta forma, descubrimos que, en un plano, la distancia más corta entre dos puntos es la que se recorre en línea recta (dicho de otra forma, si queremos gastar la menor tinta posible, pero queremos unir dos puntos dibujados en lugares diferentes de un foleo, la forma es hacerlo mediante una línea recta; con cualquier otra trayectoria se gasta más tinta). E, incluso, de ahí se deduca - conjuntamente con el llamado principio de Fermat -, que la luz viaja en línea recta, pues es, nuevamente, la recta la que nos permite ir de un punto a otro gastando el menor tiempo posible.

Diferentes caminos posibles que unen dos puntos. En un plano, es la línea recta. Esto puede demostrarse
con el cálculo variacional. Fuente imagen

De todo ello se deduce que el balón lanzado hacia portería por un futbolista sigue la trayectoria de una parábola porque esta es, dadas esas circunstancias, aquella en la que se consigue que la acción (el intercambio durante el tiempo de la energía cinética y la potencial sea mínima). Poruqe, efectivamente, se sigue una parábola y no ninguna otra de las infinitas posibles trayectorias entre el punto de lanzamiento y la portería. Por esto es la física clásica determinista: porque las trayectorias que se van a seguir son únicamente aquellas que cumplen el principio de Hamilton. 

El movimiento de una pelota de fútbol lanzada sigue una parábola porque es la trayectoria que minimiza
la acción. Fuente de la imagen

Igualmente, un famoso matemático del siglo XVIII trabajó en problemas como los enunciados y vio que para calcular matemáticamente cómo conseguir el mínimo de una función - más rigurosamente: se le llama funcional - que buscamos se calcula resolviendo unas ecuaciones, llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange y que incluyen derivadas parciales:

$$\boxed{\delta S = 0 \leftrightarrow \frac{\partial (\mathcal{L})}{\partial x} - \frac{d}{dt} (\frac{\partial \mathcal L}{\partial v}) = 0}$$

donde $x$ es la posición del cuerpo y $v$ su velocidad.

Nota: Esto se va a hacer en presencia sólo de fuerzas conservativas y para coordenadas cartesianas.

Sabiendo que la energía cinética de un cuerpo es: $T=T(v)$ y $U=U(x)$, tenemos:

$\frac{\partial \mathcal L}{\partial x} = \frac{d}{dx} U = - F$

$\frac{\partial \mathcal L}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v} (\frac{1}{2}mv^2) = mv = p \to $ $\frac{d}{dt} (\frac{\partial \mathcal L}{\partial v}) = \frac{d}{dt} m v = \frac{d}{dt} p = ma$

Juntando todo esto en la ecuación de Euler-Lagrange:

$$\frac{\partial (\mathcal L)}{\partial x} - \frac{d}{dt} (\frac{\partial \mathcal L}{\partial v}) \to - F + \frac{d p}{dt}  = 0 \to F = \frac{d p}{dt}  = ma$$

lo cual es la II ley de Newton. Es decir:

Las leyes de Newton se deducen del principio de mínima acción, son equivalentes. Cualquier partícula va a seguir una trayectoria permitida por la ley de Newton; o sea, por el principio de mínima acción.

Muchos principios y situaciones se deducen del principio de mínima acción. Por ejemplo, en un material conductor las cargas no están uniformemente distribuidas, sino que se sitúan únicamente en la superficie del materia, siendo el campo eléctrico en el centro del conductor -en equilibrio- nulo. Esta conformación se debe al principio de mínima acción, permitiendo que la energía sea mínima.

El ejemplo más fácil de ver quizá sea el de lanzar hacia arriba, verticalmente, una piedra. Podemos ver que, a medida que va ganando altura, va yendo más despacio. Esto es así porque la resta de la energía potencial y la energía cinética media durante el trayecto de subida - el lagrangiano - ha de ser mínimo. Por lo tanto, para llegar a una cierta altura, ha de ir deprisa, pero lo suficiente como para no sobrepasar en exceso a la energía potencial que se adquiere y así que su resta - de nuevo, el lagrangiano, sea lo menor posible.

Las cargas en un condcutor se sitúan en el exterior siguiendo el principio de mínima acción.
Fuente de la imagen

Vamos a recapitular, entonces:

Todo movimiento de la física clásica, así como muchos otros fenómenos, se deducen del principio de mínima acción, que nos dice que ocurren porque en la naturaleza la energía cinética de un proceso y la potencial deben igualarse lo máximo posible (que no haya demasiados desbalances netos). Como todos los cuerpos siguen este principio, del que matemáticamente se deducen las leyes de Newton, podemos decir que la física clásica es determinista.

Los movimientos de los cuerpos, por ejemplo, pueden describirse en la mecánica clásica de forma que podamos conocer el estado de los sistemas en cada momento porque se sigue el principio de mínima acción - y, por ello, las leyes de Newton -.

Y, a pesar de ser determinista, hay cosas que se nos escapan. Tal es el caso de los sitemas caóticos. El clima puede ilustrar esto perfectamente. Un meteorólogo hizo una predicción del tiempo para el día siguiente y, cuando volvió a realizarla, obtuvo un resultado completamente diferente. Analizando las posibles causas, se dio cuenta de que en el segundo día había copiado un par de decimales menos. El sistema - el clima - había resultado ser completamente diferente por la variación - aunque fuera mínima - de las condiciones iniciales. A esto es lo que se le llama efecto mariposa. Pero entonces ¿no habíamos dicho que la física clásica es determinista?  

Podemos tener una masa $m_1$ suspendida en un hilo y verla oscilar; es un péndulo simple. 

Pero también podemos unir a esa masa otra, $m_2$, de forma que se le llama péndulo doble y, es un sistema caótico.

Efectivamente, sigue el principio de mínima acción, sigue las leyes de Newton, está sujeto a una descripción matemática determinista. El único problema es que es un sistema caótico. En dichos sistemas, para poder conocer su estado en cualquier momento, necesitamos saber con infinita precisión sus condiciones iniciales (el ángulo en el momento de soltarlo, la velocidad...), literalmente infinita. Esto es, sin embargo, imposible hasta con el más potente de los ordenadores jamás inventado. Entonces, esta ignorancia se va propagando en el tiempo, va aumentando, hasta que llega un punto en el que ya no tenemos ni idea de dónde se encuentra el cuerpo, hemos perdido por completo el control sobre el sistema. Y todo porque, aunque sigue leyes deterministas, no tenemos infinita precisión en su estado inicial.

El péndulo doble es un ejemplo de sistema caótico. La ignorancia que tenemos sobre las condiciones iniciales es algo que se va propagando y aumentando con el tiempo, hasta perder por completo el conocimiento sobre dicho sistema. Fuente de la imagen

Material complementario

1. Mecánica clásica, Goldstein

2. Mecánica clásica, Taylor

3. Dinámica de partículas y sistemas, Marion

4. Física, Feynman (Vol. II)

5. Vídeo de @QuantumFracture