Perseidas 2015

Era una despejada noche de verano aquella, en la antigua Grecia, y un hombre caminaba ajeno de lo que a su alrededor sucedía. En verdad, era un tipo extraño, amante de sus momentos de soledad y de su privacidad. Aquella noche, ese extraño hombre iba mirando el cielo, posiblemente pensando en lo brillantes que se veían aquellos puntos, o preguntándose qué serían. 

Tan absorto iba en sus pensamientos, que no vio el hoyo que se encontraba frente a él. Grande tuvo que ser el golpe, pues todos los que por allí pasaban se pararon a observar al “tipo raro”. Una mujer ya entrada en años, se le acercó y con sorna le dijo “¡No ves lo que tienes a tus pies y pretendes ver lo que hay sobre tu cabeza!”. Enseguida estallaron las risas de quienes se encontraban alrededor. El hombre, aún refunfuñando por su caída, siguió andando. No sabemos el nombre de la mujer ni de las otras personas. Pero el hombre, aquel hombre extraño del que se burlaron, era Tales, Tales de Mileto.

Tales de Mileto (624 a.C. - 546 a.C. )

¿Qué tiene ese cielo para que un hombre tan brillante, tan absorto que estaba mirándolo, se cayera? Esto lo puedes responder tú mismo en una despejada noche, aún con los efectos de la contaminación lumínica. El color oscuro del cielo contrasta con esos puntos brillantes, las estrellas. Es más, algunos de esos puntos no son estrellas, sino planetas. El punto más brillante es Venus. Es decir, estás mirando a un mundo de tamaño similar al nuestro cuya superficie se encuentra a unos 460 ºC.

Planeta Venus

Y algunas veces, además, pueden verse algunas cosas aún más extrañas. Ejemplo de ello son los cometas. Antiguamente, por las teorías de Aristóteles, se pensaba que los cometas, en vez de venir del propio espacio, eran exhalaciones de nuestra atmósfera. Sin embargo, las primeras mediciones y observaciones chocaron contra esta teoría, y en el siglo XVIII ya se sabía que su origen era exterior a la Tierra.

En la Edad Media, la población creía ciegamente en la astrología; esto es, pensaba que los fenómenos estelares (posición de estrellas y planetas, aparición de cometas…) afectaban a nuestra vida diaria. De hecho, la palabra “desastre” en realidad significa “mala estrella”. Los cometas solían, por lo tanto, significar que algo malo iba a ocurrir. Ejemplo de esta creencia es la pintura del año 1528, de un médico francés, que muestra a un cometa como una espada (la cola del cometa) y una cabeza ensartada (el núcleo).

Pintura de 1528

Igualmente, en aquella época, cuando se estaba de luto, las mujeres llevaban el pelo suelto, pues querían decir que tenían tanto dolor que no querían ni tenían tiempo para arreglarse el pelo. Por ello, algunos cometas fueron representados como mujeres ancianas con el pelo suelto.

Una mujer con el pelo suelto representando a un cometa, presagio de que ocurriría alguna tragedia

Hoy día sabemos que son algo así como bolas de nieve. Los cometas están constituidos por roca y hielo. Son cuerpos que forman parte del Sistema Solar y que siguen órbitas con un período elevado (el propio cometa Halley se acerca a la Tierra cada 76 años). Cuando están aún lejos del Sol, podemos apreciar en los cometas una envuelta alrededor del núcleo del propio cometa, que está compuesta de polvo y gas. A esta envuelta se le llama “coma”.

Si nosotros acercamos una bola de nieve a una vela, veremos cómo comienza a derretirse. Igualmente, cuando el cometa, que en su composición se encuentra el hielo, se acerca el Sol, cuya superficie está a unos 6.000 ºC, suelta polvo y gas. El viento solar azota a la coma y se forma una cola, una cola de iones. Por otra parte, también se forma otra cola, pero formada por polvo, que va en dirección contraria a la del movimiento del cometa, igual que sucede con una bandera en un vehículo.

A medida que el cometa se acerca al Sol va, por lo tanto, perdiendo masa. Si se acerca demasiado, o si lleva ya muchos años pasando una y otra vez, el cometa se desintegra, quedando pequeños fragmentos de roca, llamados meteoroides. Estos fragmentos pueden quedar en cualquier lado, incluyendo en la órbita de planetas. Es decir, hay fragmentos de cometas (trozos de roca) en la órbita de nuestro planeta. Por ello, cuando la Tierra pasa por ahí, choca con ellos. Estos fragmentos atraviesan la atmósfera de la Tierra y, normalmente, se desintegran en ella debido a la fricción de la caída hacia el suelo. Lo que vemos es una brillante luz en el cielo a la que llamamos “estrella fugaz”. En realidad, el nombre técnico para “estrella fugaz” es “meteoro”.

Pero como hay más de un fragmento en la misma zona (a la cual se le llama “radiante”), lo que obtenemos es una caída continua de trozos de roca que se van a desintegrar en la atmósfera; es decir, es una lluvia de estrellas. Y éstas no son nuevas. De hecho, se sabe que ya en el siglo II a.C. en China se presenció una. Cuando un meteoro o estrella fugaz es especialmente brillante se le llama “bólido”. 

Por otra parte, si ese fragmento de cometa inicial (meteoroide), consigue atravesar toda la atmósfera terrestre y finalmente colisiona contra la superficie, se le llama meteorito.

Hay muchos cometas, aunque probablemente el más famoso es el Cometa Halley, que tiene un período de 76 años y que volverá a pasar por nuestro planeta en el año 2061. Pero no es el único. Hay otro cometa importante, llamado  Swift-Tuttle, que tarda 133 años en dar una vuelta al Sistema Solar. Éste va dejando restos de gas y partículas rocosas, fruto de su acercamiento al Sol, en la órbita de la Tierra. Aunque son muy pequeñas, tienen una velocidad tan grande (más de 200.000 km/h) que pueden ser observados a simple vista.

Cometa Halley

La constelación de la bóveda celeste donde se encuentra el radiante (punto del que parecen venir todas las estrellas fugaces o meteoros) es la que le da el nombre a la lluvia de estrellas. En este caso, es la constelación de Perseo (en honor al famoso héroe de la mitología griega que, por ejemplo, rescató a Andrómeda de un monstruo marino convirtiéndolo en piedra gracias a la cabeza de Medusa), por lo que a esta lluvia se le llama “Perseidas”.

El semidiós Perseo con la cabeza de Madusa

El nombre de “Lágrimas de San Lorenzo” se debe a que coincide la lluvia de estrellas con esta festividad, y se asocia a las lágrimas del mismo, pues fue quemado vivo en una hoguera. Este año, 2015, el mejor momento para ver las Perseidas será la noche del 12 al 13 de agosto.

Aparición de la Virgen a San Lorenzo, Greco

Pero también existen los asteroides, que son cuerpos formador por roca o metal que, generalmente, se encuentran en el cinturón de asteroides, entre Júpiter y Marte, aunque al acercarse a un planeta pueden desviarse. El nombre en griego significa “figura de estrella”, pues, vistos con un telescopio, parecen estrellas.

Imagen superior: Asteroirde Vesta
Imagen inferior: trozos de este asteroide que cayeron a la Tierra, vistos a través de un microscopio polarizado

Recapitulemos. Hemos visto lo que es un cometa (grosso modo, cuerpo del Sistema Solar que orbita alrededor del Sol y que está formado por hielo y roca), un meteoroide (también grosso modo, los fragmentos en los que se desintegra un cometa), un meteoro (un fragmento desintegrándose en la atmósfera, también llamado “estrella fugaz”), un bólido (un meteoro especialmente brillante) y un asteroide (cuerpo rocoso o de metal que, generalmente, se encuentra en el Cinturón de Asteroides).

Y, aún así, no son las únicas cosas curiosas que pueden verse en el cielo. En el año 1054, una estrella masiva explotó en una supernova (cuyos restos forman la famosa nebulosa del Cangrejo) que podía verse a simple vista desde la Tierra, como se aprecia en la pintura realizada en un saliente de una región de cañones de Nuevo México.

Nebulosa del Cangrejo, restos de la supernova de 1054 representada en esta pintura Anasazi 

Con toda esta belleza sobre nosotros, no es de extrañar que Tales se cayera en aquel hoyo. 

Fracciones

1. NOMENCLATURA

Una fracción es la relación entre dos números, su cociente. Se expresa de la siguiente forma:

$$\frac{a}{b} \Leftrightarrow b \neq 0$$

Es decir, $b$ no puede ser cero, puesto que ningún número se puede dividir entre cero.

Otras formas de expresar esto son:

$$\frac{a}{b} = a/b = a : b $$

En cualquier caso,  $a$ es el llamado "numerador"; y $b$, el "denominador".

2. INTRODUCCIÓN (Partes de la unidad, división y porcentaje)

Las fracciones sirven, por lo tanto, para expresar una división. De esta forma, si tenemos que repartir 10 caramelos entre cinco niños, podemos expresarlo así:

$$\frac{10}{5} = 2$$

Si tenemos que repartir ocho entre los mismos cinco niños, tenemos:

$$\frac{8}{5} = 1,6$$

Es decir, si pudiéramos dividir los caramelos, a cada niño le tocaría 1,6.

Las fracciones sirven también para representar las partes de una unidad, de un todo.  Por ejemplo, imaginemos que tenemos un bizcocho partido en 6 porciones. Cada uno de esos trozos representa sólo una parte del bizcocho entero. En concreto, cada trozo representa 1/6 del total. Si yo cojo todos los trozos del bizcocho, entonces tengo al bizcocho entero ($\frac{1}{6} + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  + \frac{1}{6}  = \frac{6}{6} = 1$). El uno representa el total, la unidad, porque si yo sumo todas las porciones, todas las fracciones de algo, obtengo ese algo entero.

Por ejemplo, si el color rojo representa la fresa, el marrón el chocolate y el amarillo la vainilla en la siguiente tarta:

¿Qué parte del total de esta tarta representa la fresa? Dos trozos de los seis posibles: $\frac{2}{6}$

¿Qué parte representa del total el chocolate? De nuevo, de los seis trozos que hay, sólo dos son de chocolate: $\frac{2}{6}$

Imagina que hay un niño al que no le gusta el chocolate. Por lo tanto, para él van a ser todas las partes que no sean de chocolate: las de fresa y las de vainilla ¿Qué parte de la tarta va a poder comer este niño? Sumamos, por lo tanto, todos los trozos que el niño se va a poder comer: los de fresa y los de vainilla: $2 + 2 = 4$. ¿De cuántos? De 6. Por lo tanto, el niño, de los seis trozos que hay, va  a poder comer 4; es decir, puede comer $\frac{4}{6}$ de la tarta.

Igualmente, es interesante decir que los porcentajes son en realidad fracciones. Por ejemplo, cuando decimos que el 90% de las plantas tienen flores, queremos decir que si observamos 100 plantas, 90 de ellas tendrán flores. Es decir, que $\frac{90}{100}$ son plantas con flores.

Adelfa (Nerium Oleander), planta con flor

Y si ahora nos dicen que dos tercios de la clase ($\frac{2}{3}$) tienen el pelo oscuro, y sabemos que en la clase hay 30 personas en total, ¿cómo lo calculamos?

Hay que dividir el total (las 30 personas de la clase) entre el denominador (3) y multiplicarlo por el numerador (2):

$$\frac{2}{3} \cdot 30 =  2 \cdot \frac{30}{3} = 2 \cdot 10 = 20$$

Hay veinte personas con el pelo oscuro.

Veamos otro ejemplo:

- Si tengo cuarenta tomates, pero la mitad ($\frac{1}{2}$) están malos,  ¿cuántos se han estropeado? 

Tomate (Solanum lycopersicum)
¿Sabías que no es una verdura, sino una fruta?

Esto lo puedes hacer de cabeza, ¿vedad? Es una muestra de que tú en realidad sabes cómo se hace:

$$\frac{1}{2} \cdot 40 = \frac{40}{2} = 20$$

Hay 20 tomates estropeados

- Si hay 35 pájaros, y tres quintos ($\frac{3}{5}$) son gorriones (en latín: passer domesticus), ¿cuántos gorriones hay?

$$\frac{3}{5} \cdot 35 = 3 \cdot \frac{35}{5} = 3 \cdot 7 = 21$$

Hay 21 gorriones en total.

Ejemplar macho de gorrión (Passer domesticus)

3. TIPOS DE FRACCIONES

Podemos dividir las fracciones en dos tipos:

a) Fracciones propias: Son aquellas en las que el denominador ($b$) es mayor que el numerador ($a$), como por ejemplo $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{214}{971}, \frac{5}{7}…$

b) Fracciones impropias: Son aquellas en las que el numerador ($a$) es mayor que  el denominador ($b$), como ocurre en $\frac{5}{2}, \frac{70}{9}, \frac{10}{3}, \frac{214}{97}…$

4. FRACCIONES EQUIVALENTES  E IRREDUCIBLES

Imaginemos que tenemos dos fracciones: $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$, como bien podrían ser $\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6}$. Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando en realidad representan la misma cantidad, como ocurre con $\frac{10}{5}$ y $\frac{20}{10}$, pues, en este caso, ambas fracciones son iguales a $2$. Esto se puede ver en el dibujo, en el que se comparan las fracciones $\frac{6}{8}$ y $\frac{3}{4}$: ambas son equivalentes.

¿Cómo ver si dos fracciones son equivalentes? Para ello, se multiplica $a \cdot d$ (extremos) y $b \cdot c $ (medios). Si sale el mismo resultado en ambas multiplicaciones, son equivalentes. Veamos algunos ejemplos:

$\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6} \to 2 \cdot 6$ y $3 \cdot 4 \to 12 = 12$. Por lo tanto, éstas son fracciones equivalentes.

$\frac{4}{5}$ y $\frac{12}{15} \to 4 \cdot 15$ y $5 \cdot 12 \to 60 = 60$. Por lo tanto, también son equivalentes.

$\frac{3}{5}$ y $\frac{5}{10} \to 3 \cdot 10$ y $5 \cdot 5 \to 30 \neq 25$. No son equivalentes.  

Si te fijas, todas las fracciones que han sido equivalentes tienen algo en común: la segunda es la primera multiplicando al denominador y al numerador por el mismo número. Fíjate:

a) $\frac{3}{4}$ y $\frac{6}{8} \to \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$

b) $\frac{2}{3}$ y $\frac{4}{6} \to \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

c) $\frac{4}{5}$ y $\frac{12}{15} \to\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{3} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$  

Por lo tanto, debe ser igualmente posible el proceso inverso: obtener la primera fracción a partir de la segunda (dividiéndola por un número):

a) $\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}$

b) $\frac{4}{6} = \frac{4 : 2 }{6 : 2} = \frac{2}{3}$ 

 c) $\frac{12}{15} = \frac{12 : 3}{15 : 3} = \frac{4}{5}$ 

Es decir, a partir de una fracción que contiene unos números grandes, muchas veces es posible convertirla en una fracción equivalente pero más simple.

$\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ (dividiendo entre 10)

$\frac{24}{56} = \frac{3}{7}$ (dividiendo entre 8)

$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ (dividiendo entre 5)

$\frac{12}{18} = \frac{4}{3}$ (dividiendo entre 6)

A esta fracción que ya no se puede dividir más, como las obtenidas en estos ejemplos, se le llama "fracción irreducible".

5. OPERACIONES CON FRACCIONES

a) Sumas y restas. Pueden darse varios casos:

- Todas las fracciones tienen el mismo denominador. En este caso, el denominador se mantiene y lo único que hacemos es sumar los numeradores. Si luego es necesario, simplificamos la fracción que hemos obtenido haciéndola irreducible. Veamos ejemplos:

$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$

$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{6}{7}$

$\frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{4+3}{5} = \frac{7}{5}$

$\frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{1+5}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$\frac{5}{16} + \frac{3}{16} = \frac{5+3}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

- Las fracciones tienen diferente denominador. Este es el caso más complicado. Sólo podemos sumar y restar las fracciones que tengan el mismo denominador. Por lo tanto, lo que hacemos es obtener fracciones equivalentes a las que nos dan. Debemos conseguir que todas las fracciones tengan el mismo denominador. Para ello, hemos de encontrar el mínimo común múltiplo de todas las fracciones que nos dan. Una vez calculado el mínimo común múltiplo, hallamos las fracciones equivalentes de forma que tengan ese valor en el denominador. Ejemplos:

a) $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 2 y de 4), es cuatro. Por lo tanto, la primera fracción ha de ser multiplicada arriba y abajo por dos, a fin de que el 4 aparezca en el denominador: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{4}$. De esta forma:

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4}$

b) $\frac{3}{5} + \frac{7}{10} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 5 y de 10), es 10. Por lo tanto, la primera fracción, al igual que en el caso anterior, ha de ser multiplicado arriba (el numerador) como abajo (el denominador), por 2: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$

 $\frac{3}{5} + \frac{7}{10} = \frac{6}{10} + \frac{7}{10} = \frac{6+7}{10} = \frac{13}{10}$

c) $\frac{1}{5} + \frac{2}{3} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 3 y de 5), es 15. Por lo tanto, la primera fracción ha de ser multiplicada (arriba y abajo) por 3, y la segunda, por 5, con el fin de que aparezca el m.c.m (15) en ambos denominadores:

 $\frac{1}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3}{15} + \frac{10}{15} = \frac{3+10}{15} = \frac{13}{15}$

d) $\frac{1}{2} + \frac{4}{3} \to$ En este caso, el mínimo común múltiplo (de 2 y de 3), es 6. Por lo tanto, la primera fracción ha de ser multiplicada por 3, y la segunda, por 2, para que en ambos denominadores aparezca el 6:

 $\frac{1}{2} + \frac{4}{3} = \frac{3}{6} + \frac{8}{6} = \frac{3+8}6{} = \frac{11}{6}$

e) $\frac{3}{6} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{3+4}{6} = \frac{7}{6}$

f) $\frac{3}{5} + \frac{1}{2} = \frac{6}{10} + \frac{5}{10} = \frac{6+5}{10} = \frac{11}{10}$

g) $\frac{1}{3} + \frac{2}{7} = \frac{7}{21} + \frac{6}{21} = \frac{7+6}{21} = \frac{13}{21}$

h) $\frac{2}{3} + \frac{1}{8} = \frac{16}{24} + \frac{3}{24} = \frac{16+3}{24} = \frac{19}{24}$

Recuerda: para poder comparar fracciones (ver cuál es la mayor y cuál la menor), tienen que tener el mismo denominador. De esta forma, lo único que habrá que hacer será fijarse en el numerador: quien, teniendo el mismo denominador que las demás, sea el de mayor numerador, es la fracción más grande. Ejemplos:

$\frac{1}{2}$ y $\frac{4}{3} \to$ Se convierten en: $\frac{3}{6}$ y $\frac{8}{6}$. Claramente, es mayor la segunda. por lo tanto: $\frac{4}{3}; \frac{1}{2}$

$\frac{3}{6}$ y $\frac{2}{3} \to$ Se convierten en: $\frac{3}{6}$ y $\frac{4}{6}$. Es mayor la sengunda también en este ejemplo. Por lo tanto: $\frac{2}{3} > \frac{3}{6}$

 $\frac{3}{5}$ y $ \frac{1}{2} \to$ Se convierten en $\frac{6}{10}$ y $\frac{5}{10}$. Es decir, la primera es mayor que la segunda: $\frac{3}{5} > \frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}, \frac{1}{8}, \frac{3}{4} \to $ Se convierten en: $\frac{16}{24}, \frac{3}{24}$ y $\frac{18}{24}$. Por lo tanto: $\frac{3}{4} > \frac{2}{3} > \frac{1}{8}$

Es importante ahora recordar que un número dividido entre 1 es ese mismo número:

$$\boxed{\frac{a}{1} = 1}$$

Por lo tanto, podemos expresar cualquier número como una fracción: la fracción entre ese mismo número y uno.

Entonces, si nos aparece, por ejemplo: $2 + \frac{1}{2}$, podemos utilizarlo (poner el 2 como fracción), y utilizar las sumas que acabamos de aprender (el uso del mínimo común múltiplo). Es decir:

$2 + \frac{1}{2} = \frac{2}{1} + \frac{1}{2}$ (m.c.m[1,2] = 2) $\to \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$1+ \frac{1}{7} = \frac{1}{1} + \frac{1}{7} = \frac{7}{7} + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$

$3 + \frac{3}{4} = \frac{3}{1} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$

$2 + \frac{2}{3} = \frac{2}{1} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

b) Multiplicaciones y divisiones.

La multiplicación de fracciones es bastante sencilla: los numeradores se multiplican entre sí y los denominadores entre sí:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Ejemplos:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 9} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

$\frac{2}{5} \cdot \frac{8}{3} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 3} = \frac{16}{15}$

Las divisiones son un poco más complejas, aunque igualmente, una vez aprendido el proceso, es totalmente mecánico. 

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Es decir, las divisiones se realizan en cruz:

Esta es una forma de expresar las divisiones, aunque también lo podemos poner así:

$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Simplemente se trata de poner una fracción (la primera que aparezca) en el numerador, y la otra en el denominador. Si no nos apetece pasarlo a la primera forma ($\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$), podemos hacer este truco: el sótano por la azotea. Es decir, se multiplica el número que esté en posición más alta por el que esté en posición más baja y se les coloca arriba en la fracción resultante. Los otros dos números, los de en medio, se multiplican entre sí y se colocan en el denominador de la fracción resultante.

Veamos ejemplos:

$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{3} : \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$

$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{7}} = \frac{2}{5} : \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7}{1 \cdot 5} = \frac{14}{5}$

$\frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{3}} = \frac{5}{4} : \frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 1} = \frac{15}{4}$

$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{9} : \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 2}{9  \cdot 3} = \frac{2}{27}$

$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{5}} = \frac{4}{3} : \frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{20}{3}$

$\frac{\frac{9}{7}}{\frac{1}{2}} = \frac{9}{7} : \frac{1}{2} = \frac{9 \cdot 2}{7 \cdot 1} = \frac{18}{7}$

$\frac{2}{3} : 5 = \frac{2}{3} : \frac{5}{1} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}$

$\frac{1}{3} : 2 = \frac{1}{3} : \frac{2}{1} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

$\frac{4}{7} : 3 = \frac{4}{7} : \frac{3}{1} = \frac{4 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{4}{21}$

c) Potencias y raíces.

- Si tenemos una fracción elevada a un exponente, $n$, se cumple que:

$$\boxed{{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^n}{b^n}}$$

Es decir, se elevan a $n$ tanto el denominador como el numerador:

${(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

${(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$

${(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$

${(\frac{1}{5})}^{3} = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125}$

- La raíz de una fracción ya se vio en este otro post. En ese caso, se cumplía que:

$$\boxed{\frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}}}$$ Ejemplos:

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$

$\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{6}} = \sqrt[3]{\frac{5}{6}}$

$\frac{\sqrt[45]{11}}{\sqrt[45]{22}} = \sqrt[45]{\frac{1}{2}}$


Y también en sentido inverso:

$\sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\sqrt[7]{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt[7]{2}}{\sqrt[7]{5}}$

$\sqrt[8]{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt[8]{8}}{\sqrt[8]{3}}$

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$