Científicos de la historia: James Clerk Maxwell

 

Nace en Edimburgo, en Escocia, el 13 de junio de 1831, hace hoy 187 años. Era hijo de John Maxwell, un rico abogado muy interesado en la ciencia, y de Frances Cay, quienes tras casarse se fueron a vivir a una mansión construida para la pareja, llamada Glenair. En esa propiedad nació y creció Maxwell, feliz de correr por el campo y hacer todas las preguntas que se le ocurrían para saciar su curiosidad científica. Su madre, profundamente instruida en artes y humanidades, le enseñó a leer y a escribir, y pronto James empezó a leer a John Milton y William Shakespeare, hasta recitar sus obras de memoria. Le llamaba la atención casi todo: el trino de los pájaros, las olas en el estanque de la hacienda o los cables que corrían por la casa hasta la cocina.

Fotografía de un joven James C. Maxwell. Fuente: Fundación Maxwell

Cuando cumplió siete años, Frances falleció de un cáncer abdominal. Este acontecimiento cambió radicalmente su vida: primero, por la pena que causó en padre e hijo, que los unió un poco; segundo, porque, desde entonces, la vida en Glenair fue bastante más triste; y, por último, porque su padre no podía dedicar el tiempo necesario para educarlo, así que se tomó la decisión, tres años más tarde, de matricularlo en la Academia de Edimburgo. Y de esta etapa cuentan que se entretenía mirando los escarabajos y abejas, o la hierba, en vez de participar en los juegos deportivos como el resto de sus compañeros. Esto, unido a sus titubeos al hablar en público, supuso que sus compañeros se metieran con él y hasta llegaran a ponerle mote. Además, se trasladó a la casa de su tía, Isabella, la hermana menor de Frances; y resultó que ella poseía una biblioteca más nutrida y rica que la de Glenair, por lo que James comenzó a leer también filosofía, sobre todo a Thomas Hobbes. Su padre también lo llevaba a ver ferias científicas, cómo se iba construyendo el ferrocarril por la zona, o los cerros cercanos, para observar los estratos. Destacaba especialmente una muestra sobre máquinas electromagnéticas, que impresionaron y provocaron la curiosidad del joven por esos fenómenos. De este modo se fue fortaleciendo el interés de Maxwell por la ciencia; y de ella, especialmente, por la matemática y la geometría, hasta el punto de que, con apenas 15 años, escribe su primer artículo científico, sobre cómo dibujar óvalos en un papel. Sólo un científico había escrito anteriormente sobre esto: René Descartes. Sin embargo, el método del joven era más sencillo y general, por lo que fue alabado y leído en la Royal Society de Edimburgo. Fue a partir de entonces cuando, por fin, James encontró a otros alumnos con intereses comunes y pudo salir de su aislamiento. Uno de ellos, Lewis Campbell, quien sería posteriormente su biógrafo, llegó a decir que James “tenía tres cualidades que sus compañeros no podían dejar de admirar: agilidad y destreza en sus brazos, coraje imperturbable y una profunda naturaleza bondadosa”.

Durante toda su carrera científica, como ser humano que era, Maxwell cometió errores aritméticos, fallo que asumía y aceptaba, en él y en otros, pero aborrecía la falta de cortesía con el lector: ocultarle experimentos fallidos, enrevesar el texto a propósito… que fue la razón de su amargura con Ampère, a quien llamó “el Newton de la electricidad”. Y James sabía de lo que hablaba, pues, durante sus últimos años de academia, se dedicó a leer los trabajos de los pioneros del electromagnetismo -Faraday, Ampère, Poisson- (asimismo, también era capaz de escribir poemas con cualquier métrica que se le pidiera). Así, Maxwell acabó, tras acabar esta etapa, matriculándose en la carrera de matemáticas en la universidad de Edimburgo, una de las más prestigiosas del siglo, puesto que en la Inglaterra del momento se consideraba que la ciencia era simplemente una curiosidad. Allí cursó estudios de Filosofía, Matemáticas puras y ciencia experimental, pasando horas y horas en el laboratorio, pues su profesor le dejaba hacer todo tipo de experimentos -tradición que luego él mismo llevaría a cabo con sus estudiantes en Cambridge-. Continuó, por su cuenta, leyendo clásicos de autores como Newton, Cauchy, Hobbes, Adam Smith o Fourier .Igualmente, en el desván construyó su propio laboratorio donde haría experimentos durante las vacaciones principalmente sobre química u óptica.  Más concretamente, se centró en experimentos y estudios ya relevantes, sobre todo en temas de polarización de la luz -llegó a construirse su propio polarizador- y de cristales no templados (como el experimento de la gota del príncipe Rupert). También hizo progresos bastante importantes en la teoría de la elasticidad, artículo escrito con ayuda de su profesor Forbes y que, por primera vez, trataba matemáticamente la elasticidad. James tenía sólo 18 años. 

Figura 1

La luz, inicialmente, vibra en infinitas direcciones. El filtro polarizador selecciona una única dirección anulando las demás; es decir, polariza la luz. Fuente: Wikipedia

Igualmente fue en aquellos años donde se iban asentando características personales y de trabajo que lo acompañarían toda la vida, como su tendencia a ser vehemente con los conceptos, trabajar mucho la bibliografía del tema de estudio o, incluso, su desprecio por los intentos de demostrar la existencia de Dios.

Esta etapa de su vida se cierra con su traslado, con 19 años, a Cambridge, dejando atrás sus amistades y familiares de Edimburgo. Allí continuó los estudios de ciencias, donde se unió al club de los Apóstoles, un prestigioso grupo “alumnos de élite” -y elitista- de Cambridge (por ejemplo, pertenecieron al grupo Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein, o Maynard Keynes), donde demostró estar especialmente interesado en el choque entre ciencia y religión -que él, profundamente creyente, consideraban compatibles-. Se cuenta que era una persona muy inquieta, siempre trasteando por el College, ayudando y animando a sus compañeros, traduciendo odas épicas del latín… además de resolver problemas propuestos complicados en poco tiempo y de manera muy eficiente debido, principalmente, a su visualización de la idea que escondía el problema -aunque seguía cometiendo múltiples errores de cálculo-.

Para conseguir la licenciatura, todos los estudiantes debían aprobar un examen llamado Mathematical Tripos, un larguísimo examen (221 preguntas en 16 páginas, de las cuales se daban dos hojas cada día; el examen completo duraba ¡44 horas!), seguido de otro aún más difícil pero sólo posible para los que habían sacado más nota en el examen anterior, el Smith’s Prize. En resumen: Maxwell quedó segundo en el primero y empató en el segundo. Y entonces fue cuando comenzó sus estudios de la teoría del color, como años atrás había hecho el propio Newton, siguiendo la estela de Thomas Young, que afirmaba que solo había tres colores primarios. Y lo que descubrió en sus investigaciones fue algo que hoy nos parece evidente, pero que entonces no lo era: que no son iguales los colores de la luz que los de los pigmentos, puesto que los primero corresponde a una mezcla aditiva y, la segunda, sustractiva. Es decir, no es lo mismo juntar una témpera azul y otra amarilla (que dan verde) que juntar luz de esos colores (lo cual origina un color rosáceo). Para esto hizo una peonza coloreada y una caja de color, erigiendo un modelo geométrico para la combinación de colores. Esto puede parecer un poco enrevesado; pero, realmente, no es más que el sistema RGB de televisores y monitores. Así, siguiendo el trabajo también de un científico alemán, Grassmann, cuyos estudios explicaban el brillo total y grado de saturación para los diferentes colores, ideó lo que hoy se conoce como triángulo de Maxwell.

Figura 2
Gráfico RGB actual, usado incluso en técnicas de cromatografía. Fuente: Wikipedia.

Además, sus trabajos dejaban entrever el funcionamiento del ojo, lo cual interesó a Maxwell al punto de llegar a fabricarse su propio oftalmoscopio y pasarse horas estudiando los ojos de animales y personas. Todos estos trabajos los publicó en el año 1860 bajo el título “On the Theory of Compounds Colours”, que le valió premios y nominaciones y, sobre todo, le abrió un hueco en el mundo científico de la época, pasando a ser un personaje reputado y reconocido. Así, a pesar de superar el examen de fellow del Trinity, acabó en una universidad de Escocia, donde se dedicaría plenamente a dar clases y a sus investigaciones. De hecho, en su clase inaugural -pública-, enfatizó la importancia del pensamiento crítico y del trabajo experimental. En medio de la excitación y trabajo que suponía esa nueva experiencia para él, su padre falleció lo cual, unido a un ambiente frío por parte del college, le hizo sentirse solo.

Tres años después de este trágico episodio, Maxwell decidió dedicarse a un problema propuesto para el premio Adams: estabilidad del anillo de Saturno suponiendo que éste fuera sólido, un fluido o compuesto por diferentes trozos pequeños sólidos, respectivamente. Su trabajo, entregado meses después, fue el único presentado y, tras subsanar un error, demostró que la única posibilidad, por descarte, es que estuviera formado por pequeños trozos sólidos (que hoy día sabemos correcto, pues los anillos están constituidos principalmente por pequeños trozos de hielo que orbitan al planeta).

Figura 3
Anillos de Saturno en color falso captados por la Voyager 2. Fuente: NASA

Precisamente este trabajo sobre Saturno, basado en la difusión de los gases, permitió la entrada por la puerta grande de Maxwell en la ciencia del momento: la termodinámica. Entre líos de amores -hacía un par de años se había enamorado de su prima y hasta propuesto matrimonio, y ahora se acababa de casar finalmente con la hija del rector del college, Elisabeth, siete años mayor que él-, y basándose en el trabajo de Waterson, Maxwell fue capaz de demostrar que la energía cinética (de movimiento) y la temperatura de un cuerpo estaban íntimamente relacionados. Se basaba, entonces, en que los gases estaban formados por pequeños átomos individuales que se movían y chocaban entre sí. Cuanto más se movían las partículas individuales, mayor era la temperatura del cuerpo. Esto encierra un matiz muy importante: a partir de cualidades macroscópicas, como es la temperatura, podemos, empleando técnicas derivadas de la estadística, deducir propiedades microscópicas, como la energía cinética de los átomos. Nacía así la física estadística, cuyo máximo exponente sería Ludwig Boltzmann. Como era costumbre en él, en sus aplicaciones prácticas Maxwell cometió varios errores, entre ellos errores de conversión de unidades, de forma que erró en varios órdenes de magnitud del valor real. Sin embargo, alguna de esas incoherencias eran intrínsecas de la mecánica clásica: sólo podían resolverse mediante la mecánica cuántica.

      De estos estudios pasó al de la electricidad para el cual, como acostumbraba en su pensamiento, se basó en una analogía: el flujo del calor. Así, basándose en los trabajos de Faraday y en su idea de las líneas de fuerza -que, aunque se suele pensar lo contrario, ya se le ocurrieron a Newton-, Maxwell fue deduciendo y reuniendo lo que hoy se conoce como las leyes de Maxwell, que él trató en su forma diferencial (esto es, usando derivadas). Las líneas de fuerza eran una medida de la dirección e intensidad del campo, bien eléctrico o bien magnético, y pueden verse colocando limaduras de hierro en el seno de un campo magnético. 

Figura 4

Las limaduras de hierro puestas alrededor de un imán muestran el campo magnético que se forma. Fuente: Wikipedia.

 

Así, Maxwell dedujo que las cargas positivas eran fuentes del campo eléctrico mientras que las negativas eran sumideros; esto es, el campo eléctrico nacía en las cargas positivas y moría en las negativas.  Al mismo tiempo, y basándose en el potencial vector, describió matemáticamente las interacciones electromagnéticas. Así pues, la gran aportación de Maxwell fue la unificación de leyes anteriores y darse cuenta de la falta de simetría de la última ecuación: faltaba un término. Este término describía a una corriente que aparece cuando el campo eléctrico varía, sin que haya transporte de carga, y se le llama corriente de desplazamiento.

Finalmente, dedujo correctamente que la luz es una onda electromagnética y que se desplaza  a la velocidad de la luz (esto último lo dedujo comparando los resultados que él obtenía con su teoría con las mejores mediciones del momento de la velocidad de la misma). Por ello, la luz que nos permite leer este documento ahora mismo está formado por un campo eléctrico y otro magnético que van oscilando perpendiculares entre sí y que así mismo se desplazan.

Estos resultados los presentó en 1864 en la Royal Society:

“¿Qué es la luz de acuerdo con la teoría electromagnética? Consiste en variaciones magnéticas transversales rápidas y alternadas, acompañadas por desplazamientos eléctricos, donde la dirección de estos desplazamientos es perpendicular a las perturbaciones magnéticas, y ambas son a su vez perpendiculares a la dirección del rayo”.

Originalmente, las ecuaciones de Maxwell eran veinte, que se resumen, en su formulación matemática moderna, en las siguientes cuatro:

Donde (1) es la ecuación de Gauss para el campo eléctrico, e indica que sus fuentes son las cargas eléctricas. Es equivalente a la ley de Coulomb.
La ecuación (2) es la ecuación de Gauss para el campo magnético y nos indica que no existen los monopolos magnéticos; esto es, un imán siempre va a tener un polo sur y uno norte, aunque lo partamos por la mitad.

La ecuación (3) es la Ley de Faraday, e indica que un campo magnético variable genera un campo eléctrico.

Finalmente, la ecuación (4) es la otra cara de la moneda que es el electromagnetismo e indica que la fuente de un campo magnético con las corrientes de conducción (es decir, cargas en movimiento) y desplazamiento, añadida por Maxwell, (originadas, estas últimas, por variaciones de los campos eléctricos).

Estas representan, en suma, las ecuaciones que describen todos los fenómenos eléctricos y magnéticos que existen en la naturaleza.

Un año después de presentar sus ecuaciones, en 1865, dimitió de su puesto como profesor en el King’s College de Londres, y se retiró a Glenair. Allí, pasó seis años trabajando en su teoría del electromagnetismo, implicándose en la comunidad, y continuando los trabajos inacabados en la hacienda. Fue en  ese lugar donde completó su libro The Theory of Heat, y comenzó el que su obra maestra científica, A Treatise on Electricity and Magnetism. Luego, en 1871, la Universidad de Cambridge, en la que había estado en su juventud, le ofreció contruir y dirigir un laboratorio de investigación. Él fue la tercera opción de la universidad, tras William Thompson (Lord Kelvin) y Hermann von Helmholtz. Maxwell, al principio reticente, aceptó el encargo, pero enseguida se entregó en cuerpo y alma al proyecto. Pese a la resistencia de viejos científicos, que consideraban “inútil” el trabajo experimental, el laboratorio se comenzó a construir bajo sus indicaciones, pues había discutido los detalles de la edificación con Lord Kelvin y su viejo amigo Peter Guthrie Tait, y con el dinero del duque de Devonshire, William Cavendish, descendiente del genial Henry Cavendish. Este fue un retraído y tímido noble que, despreocupado del dinero, empleó su vida en realizar cuidadosísimos experimentos en materia de gravitación y electricidad. Fue el primero en medir la constante de gravitación universal de Newton; sin embargo, sus trabajos en electromagnetismo habían quedado inéditos, y Maxwell preparó los manuscritos para la imprenta.

Figura 6
Maxwell adulto. Fuente: Wikipedia

El laboratorio, el Cavendish, se acabó de construir en otoño de 1873, justo cuando publicó su magnus opus, A Treatise on Electricity and Magnetism, la obra fundamental del nuevo electromagnetismo. Presentaba todos los resultados experimentales, matematizaba los resultados de Michael Faraday y lo sistematizaba todo en una teoría sintética de la que se deducían los fenómenos conocidos y se predecían otros, como la presión que la luz ejerce sobre el entorno.

Una vez en marcha, el Cavendish, equipado con los instrumentos del propio Maxwell y otros construidos ex profeso, se puso a la vanguardia en la experimentación en electricidad y termodinámica. Asismismo, preparaba a los alumnos para el Tripos, al tiempo que les permitía, pues así era Maxwell, emprender investigaciones sobre el tema que más les interesara, sin restricciones. Este enfoque tenía sus ventajas, como la libertad de la que gozaban sus estudiantes; pero, a la vez, una serie de inconvenientes, como que carecían de guía en el laboratorio. Aun así, se considera que su trabajo en el Cavendish fue fundamental para el avance de la física experimental.

En el plano personal, debieron ser años tranquilos para la pareja, pues se sabe de Maxwell también que su matrimonio con Katherine era muy feliz. Se adoraban entre sí, y siempre uno cuidó al otro cuando hizo falta. Y así, en 1877, James comienza a tener ardor de estómago, que se fue convirtiendo, a lo largo de 1878 y comienzos de 1879,  en un dolor constante, que no le dejaba trabajar. El médico le diagnosticó, como a su madre, un cáncer abdominal, en octubre, vaticidándole un mes de vida. Y, desgraciadamente, su previsión se cumplió: en noviembre, James Clerk Maxwell falleció en Gleanair, donde se había criado.

Artículo escrito conjuntamente con mi mejor amigo, al que tanto quiero, admiro y debo: @SegundaLey

A las aladas almas de las rosas
del almendro de nata te requiero,
que tenemos que hablar de muchas cosas,
compañero del alma, compañero.

El determinismo de la física clásica

¿Por qué se dice que la física clásica es determinista? ¿Por qué podemos conocer en todo momento la posición de un coche que se mueve? ¿Por qué se siguen las leyes de Newton? ¿Por qué el clima, si la física es determinista, acaba siendo impredecible?

Para empezar, debemos definir lo que es el lagrangiano. No te dejes asustar por el nombre: hace referencia al matemático del siglo XVIII que lo desarrolló, Lagrange. 

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Fuente

Así, el lagrangiano se define como:

$$\boxed{\mathcal{L} = T - U}$$

donde $T$ es la energía cinética  (debida el movimiento) y  $U$ representa la energía potencial. Es decir, en el caso más sencillo y conocido, el lagrangiano se expresaría como:

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}mv^2 - mgh$$ 

(es decir, una masa $m$, como un coche, moviéndose y en un campo gravitatorio, como podría ser el terrestre). 

¿Qué representa el lagrangiano? Como la expresión matemática, nos dice, el lagrangiano  se refiere a cómo van variando la energía cinética y la energía potencial, cómo se van intercambiando. Porque, por ejemplo, ya sabemos que cuando lanzamos algo hacia arriba, se va frenando (pierde energía cinética) pero, precisamente por subir, adquiere mayor energía potencial.

Una vez definido esto, ya estamos entonces preparados para el  siguiente paso que será, nuevamente una definición.

 En física, se conoce con el nombre de acción, $S$, a la expresión:

$$S = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L dt = \int_{t_1}^{t_2} (T-U) dt$$ 

La acción nos dice cómo ha variado el lagrangiano en un intervalo de tiempo $(t_1,t_2)$. Es decir: cómo se han ido intercambiando la energía cinética y potencial en el tiempo.

Vale, lo prometo: por el momento, no más definiciones matemáticas. Vamos ya con la física. Resulta que en la naturaleza se sigue el principio de Hamilton o principio de mínima acción: 

En la naturaleza, los cuerpos (ya sea un coche, un balón de fútbol o un meteorito) van a seguir aquellas trayectorias en las cuales se minimice la acción, $S$. 

Es decir:

$$\boxed{\delta S = 0}$$

O lo que es lo mismo: hacer que esta integral $S = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L dt = \int_{t_1}^{t_2} (T-U) dt$ sea lo más pequeña posible*.

Esto se utiliza en el llamado cálculo variacional, pues también se intenta que una integral de la forma $ J = \int f[y(x), y'(x); x] dx$  sea lo más pequeña posible ($\delta J=0$). De esta forma, descubrimos que, en un plano, la distancia más corta entre dos puntos es la que se recorre en línea recta (dicho de otra forma, si queremos gastar la menor tinta posible, pero queremos unir dos puntos dibujados en lugares diferentes de un foleo, la forma es hacerlo mediante una línea recta; con cualquier otra trayectoria se gasta más tinta). E, incluso, de ahí se deduca - conjuntamente con el llamado principio de Fermat -, que la luz viaja en línea recta, pues es, nuevamente, la recta la que nos permite ir de un punto a otro gastando el menor tiempo posible.

Diferentes caminos posibles que unen dos puntos. En un plano, es la línea recta. Esto puede demostrarse
con el cálculo variacional. Fuente imagen

De todo ello se deduce que el balón lanzado hacia portería por un futbolista sigue la trayectoria de una parábola porque esta es, dadas esas circunstancias, aquella en la que se consigue que la acción (el intercambio durante el tiempo de la energía cinética y la potencial sea mínima). Poruqe, efectivamente, se sigue una parábola y no ninguna otra de las infinitas posibles trayectorias entre el punto de lanzamiento y la portería. Por esto es la física clásica determinista: porque las trayectorias que se van a seguir son únicamente aquellas que cumplen el principio de Hamilton. 

El movimiento de una pelota de fútbol lanzada sigue una parábola porque es la trayectoria que minimiza
la acción. Fuente de la imagen

Igualmente, un famoso matemático del siglo XVIII trabajó en problemas como los enunciados y vio que para calcular matemáticamente cómo conseguir el mínimo de una función - más rigurosamente: se le llama funcional - que buscamos se calcula resolviendo unas ecuaciones, llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange y que incluyen derivadas parciales:

$$\boxed{\delta S = 0 \leftrightarrow \frac{\partial (\mathcal{L})}{\partial x} - \frac{d}{dt} (\frac{\partial \mathcal L}{\partial v}) = 0}$$

donde $x$ es la posición del cuerpo y $v$ su velocidad.

Nota: Esto se va a hacer en presencia sólo de fuerzas conservativas y para coordenadas cartesianas.

Sabiendo que la energía cinética de un cuerpo es: $T=T(v)$ y $U=U(x)$, tenemos:

$\frac{\partial \mathcal L}{\partial x} = \frac{d}{dx} U = - F$

$\frac{\partial \mathcal L}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v} (\frac{1}{2}mv^2) = mv = p \to $ $\frac{d}{dt} (\frac{\partial \mathcal L}{\partial v}) = \frac{d}{dt} m v = \frac{d}{dt} p = ma$

Juntando todo esto en la ecuación de Euler-Lagrange:

$$\frac{\partial (\mathcal L)}{\partial x} - \frac{d}{dt} (\frac{\partial \mathcal L}{\partial v}) \to - F + \frac{d p}{dt}  = 0 \to F = \frac{d p}{dt}  = ma$$

lo cual es la II ley de Newton. Es decir:

Las leyes de Newton se deducen del principio de mínima acción, son equivalentes. Cualquier partícula va a seguir una trayectoria permitida por la ley de Newton; o sea, por el principio de mínima acción.

Muchos principios y situaciones se deducen del principio de mínima acción. Por ejemplo, en un material conductor las cargas no están uniformemente distribuidas, sino que se sitúan únicamente en la superficie del materia, siendo el campo eléctrico en el centro del conductor -en equilibrio- nulo. Esta conformación se debe al principio de mínima acción, permitiendo que la energía sea mínima.

El ejemplo más fácil de ver quizá sea el de lanzar hacia arriba, verticalmente, una piedra. Podemos ver que, a medida que va ganando altura, va yendo más despacio. Esto es así porque la resta de la energía potencial y la energía cinética media durante el trayecto de subida - el lagrangiano - ha de ser mínimo. Por lo tanto, para llegar a una cierta altura, ha de ir deprisa, pero lo suficiente como para no sobrepasar en exceso a la energía potencial que se adquiere y así que su resta - de nuevo, el lagrangiano, sea lo menor posible.

Las cargas en un condcutor se sitúan en el exterior siguiendo el principio de mínima acción.
Fuente de la imagen

Vamos a recapitular, entonces:

Todo movimiento de la física clásica, así como muchos otros fenómenos, se deducen del principio de mínima acción, que nos dice que ocurren porque en la naturaleza la energía cinética de un proceso y la potencial deben igualarse lo máximo posible (que no haya demasiados desbalances netos). Como todos los cuerpos siguen este principio, del que matemáticamente se deducen las leyes de Newton, podemos decir que la física clásica es determinista.

Los movimientos de los cuerpos, por ejemplo, pueden describirse en la mecánica clásica de forma que podamos conocer el estado de los sistemas en cada momento porque se sigue el principio de mínima acción - y, por ello, las leyes de Newton -.

Y, a pesar de ser determinista, hay cosas que se nos escapan. Tal es el caso de los sitemas caóticos. El clima puede ilustrar esto perfectamente. Un meteorólogo hizo una predicción del tiempo para el día siguiente y, cuando volvió a realizarla, obtuvo un resultado completamente diferente. Analizando las posibles causas, se dio cuenta de que en el segundo día había copiado un par de decimales menos. El sistema - el clima - había resultado ser completamente diferente por la variación - aunque fuera mínima - de las condiciones iniciales. A esto es lo que se le llama efecto mariposa. Pero entonces ¿no habíamos dicho que la física clásica es determinista?  

Podemos tener una masa $m_1$ suspendida en un hilo y verla oscilar; es un péndulo simple. 

Pero también podemos unir a esa masa otra, $m_2$, de forma que se le llama péndulo doble y, es un sistema caótico.

Efectivamente, sigue el principio de mínima acción, sigue las leyes de Newton, está sujeto a una descripción matemática determinista. El único problema es que es un sistema caótico. En dichos sistemas, para poder conocer su estado en cualquier momento, necesitamos saber con infinita precisión sus condiciones iniciales (el ángulo en el momento de soltarlo, la velocidad...), literalmente infinita. Esto es, sin embargo, imposible hasta con el más potente de los ordenadores jamás inventado. Entonces, esta ignorancia se va propagando en el tiempo, va aumentando, hasta que llega un punto en el que ya no tenemos ni idea de dónde se encuentra el cuerpo, hemos perdido por completo el control sobre el sistema. Y todo porque, aunque sigue leyes deterministas, no tenemos infinita precisión en su estado inicial.

El péndulo doble es un ejemplo de sistema caótico. La ignorancia que tenemos sobre las condiciones iniciales es algo que se va propagando y aumentando con el tiempo, hasta perder por completo el conocimiento sobre dicho sistema. Fuente de la imagen

Material complementario

1. Mecánica clásica, Goldstein

2. Mecánica clásica, Taylor

3. Dinámica de partículas y sistemas, Marion

4. Física, Feynman (Vol. II)

5. Vídeo de @QuantumFracture